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相关试卷

1、如图， $A (2, 0)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (- 1, 1)$ ， $D (- 2, 0)$ ，弧CD是以OD为直径的圆上的一段圆弧，弧CB是以BC为直径的圆上的一段圆弧，弧BA是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线w，则下述正确的是（）

A、曲线w与x轴围成的图形的面积等于2π B、曲线w上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点） C、弧CB所在圆的方程为 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ D、弧CB与弧BA的公切线方程为 $x + y = \sqrt{2}$

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x + 1, x < 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，若存在 $x_{0} > 0$ ，使得 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[- 1, 1]$

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3、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，过直线 $3 x + 4 y - 10 = 0$ 上的动点 $P$ 作圆 $O$ 的一条切线，切点为 $A$ ，则 $|P A|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α, n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ α, m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $α ⊥ β, m ⊥ β, m ⊄ α$ ，则 $m$ // $α$ D、若 $α ⊥ β, m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$

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5、集合 $M = \{y | y = 2^{x}, x > 0\}$ ， $N = \{y | y = \log_{2} x\}$ ，那么“ $x \in M$ ”是“ $x \in N$ ”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知集合 $P = \{x |x^{2} \leq 4\}, M = \{m\}$ ，若 $P \cap M = M$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2]\cup[2, + \infty)$

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7、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a^{2} (1 - \sin 2 B) + b^{2} (1 - \sin 2 A) = c^{2}$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的取值范围.

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8、如图所示，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ . $E$ 、 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $A D$ 上， $A B / / E F$ ，将矩形 $A B E F$ 沿 $E F$ 折起.记折起后的矩形为 $M N E F$ ，且平面 $M N E F ⊥$ 平面 $E C D F$ .

(1)、求证： $N C / /$ 平面 $M F D$ ；

(2)、若 $E C = 3$ ，求证： $N D ⊥ F C$ ；

(3)、求四面体 $N F E C$ 体积的最大值

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9、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2） $X$ 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“ $X \geq 2$ ”的事件概率．

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10、2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式 $v = v_{0} \cdot ln \frac{M}{m}$ ，可以计算理想状态下火箭的最大速度 $v (m/s)$ ，其中 $v_{0} (m/s)$ 是喷流相对速度， $m (kg)$ 是火箭（除推进剂外）的质量， $M (kg)$ 是推进剂与火箭质量的总和， $\frac{M}{m}$ 称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为 $2000 m/s$ .
（ⅰ）当总质比为9时，甲型火箭的最大速度为 $m/s$ ；
（ⅱ）若经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，总质比变为原来的 $\frac{1}{2}$ .若要使火箭的最大速度至少增加 $1000 m/s$ ，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为.
（所有结果保留整数，参考数据： $\ln 3 \approx 1.1$ ， $2.718 < e < 2.719$ ）

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2^{x} + 2^{- x}$ ，若不等式 $f (1 - a x) < f (2 + x^{2})$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，则实数a的取值范围是.

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12、某班男女生的比例为3：2，全班的平均身高为 $168 cm$ ，若女生的平均身高为 $159 cm$ ，则男生的平均身高为 $cm$ .

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13、已知函数 $f (x) = (\sin x + \cos |x|) |\sin x - \cos x|$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、若 $|f (x_{1})| + |f (x_{2})| = 2$ ，则 $x_{1} + x_{2} = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上是增函数 D、函数 $g (x) = f (x) + 1$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上至少有2个零点

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14、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为BC， $C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，则下列结论中正确的是（　　）

A、 $D_{1} D ⊥ A F$ B、点G到平面 $A E F$ 的距离是点C到平面 $A E F$ 的距离的2倍 C、 $A_{1} G //$ 平面 $A E F$ D、异面直线 $A_{1} G$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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15、已知集合 $U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}, A = {2, 5, 7, 13}, B = {3, 7, 13, 17}, C = {7, 13}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) = ∁_{U} (A \cup B)$ B、 $∁_{U} (∁_{U} A) = ∁_{U} (∁_{U} B)$ C、 $A \cap C = B \cap C$ D、 $∁_{U} (A \cap B) = ∁_{U} C$

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16、辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为 $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ)$ ．已知函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ （其中 $a \neq 0$ ， $b \in R$ ， $\tan φ = \frac{b}{a}$ ）．若 $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{2}) > f (\frac{π}{4})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}]$ 上单调递增 D、过点 $(a, b)$ 的直线与 $f (x)$ 的图象一定有公共点

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17、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0]$ 上是增函数，记 $a = f (\log_{5} \frac{1}{2})$ ， $b = f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5})$ ， $c = f ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5}})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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18、若 $\sin θ = - 2 \cos θ$ ，则 $\sin θ (\sin θ + \cos θ) =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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19、i是虚数单位，复数 $\frac{2 - i}{1 + 2 i} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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20、函数 $f (x) = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 5}$ 的定义域是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[- 5, + \infty)$ C、 $[- 5, 2]$ D、 $(- \infty, - 5] \cup [2, + \infty)$

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