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相关试卷

1、定义：一个正整数 $n$ 称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列 $a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}$ ，满足①②：
① $a_{1} < a_{2} < ... < a_{k - 1} < a_{k} = n (k \geq 2)$ ；
② $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{k}} = 1$ ．

(1)、写出最小的“漂亮数”；

(2)、若 $n$ 是“漂亮数”，证明： $n^{3}$ 是“漂亮数”；

(3)、在全体满足 $k = 4$ 的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数” $n$ ，求 $n - 1$ 是质数的概率．

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{16} x, x \leq 2 \\ 2 f (x - 1,) x > 2 \end{array}$ 则 $f (4) =$ ．

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3、下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t - 1$ B、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = 1$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (x) = \frac{x}{x^{2}}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

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4、已知抛物线 $C : x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F, P$ 是抛物线 $C$ 上的一点， $O$ 为坐标原点， $|O P| = 4 \sqrt{3}$ ，则 $|P F| =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足 $(b - a) (sin B + sin A) = c (sin C - sin A)$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $\frac{a c - b c - a b}{b^{2}}$ 的取值范围．

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6、O为空间任意一点，若 $\vec{O P} = \frac{3}{4} \vec{O A} + \frac{1}{8} \vec{O B} + t \vec{O C}$ ，若ABCP四点共面，则 $t =$ ．

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7、下面四个结论正确的是（）

A、向量 $\vec{a}, \vec{b} (\vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若空间四个点 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $\vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 C、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (- 2, x, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = - 2$ D、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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8、设自然数 $n \geq 3$ ，若由n个不同的正整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 构成的集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．

(1)、试分别判断在集合 $S_{1} = {1, 2, 3, 4}$ 与 $S_{2} = {1, 2, 4, 8}$ 是否具有性质P，不必说明理由；

(2)、已知集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 具有性质P．
①记 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ ，求证：对于任意正整数 $k \leq n$ ，都有 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq 2^{k} - 1$ ；
②令 $d_{i} = a_{i} - 2^{i - 1}$ ， $D_{k} = \sum_{i = 1}^{k} d_{i}$ ，求证： $D_{k} \geq 0$ ；

(3)、在（2）的条件下，求 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}$ 的最大值．

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9、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，已知 $E$ 为棱 $A D$ 的中点， $P$ 在底面的投影 $H$ 为线段 $E C$ 的中点， $M$ 是棱 $P C$ 上一点.

(1)、若 $C M = 2 M P$ ，求证： $P E / /$ 平面 $M B D$ ；

(2)、若 $P B ⊥ E M, P C = E C$ ，确定点 $M$ 的位置，并求二面角 $B - E M - C$ 的余弦值.

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10、若 $e^{x} \geq (a + 1) x + b$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则 $(a + 1) b$ 的最大值为.

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 3, & x \leq 2 \\ 6 + \log_{a} x, & x > 2 \end{array} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若函数 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, 4]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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12、已知函数 $f (x) = \cos 2 x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (\frac{π}{6} + Δ x) - f (\frac{π}{6})}{Δ x} =$ .

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13、若 $\log_{a} b > 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a < b$ B、 $a b + 1 > a + b$ C、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ D、 $a + \frac{1}{a} < b + \frac{1}{b}$

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14、下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 定义域为 $[1, 3]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[0, 1]$ B、若定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 值域为 $[1, 5]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的值域为 $[0, 2]$ C、函数 $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ 与 $y = - {log}_{5} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 D、 $a > b$ 成立的一个必要条件是 $a - 1 > b$

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15、已知函数 $f (x) = 2 m x^{2} - 2 (4 - m) x + 1, g (x) = m x$ ，若对于任意的实数 $x, f (x)$ 与 $g (x)$ 至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 8)$ C、 $[2, 8)$ D、 $(- \infty, 0)$

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16、根据公式 $\sin 3 α = 3 \sin α - 4 \sin^{3} α$ ， $\sin 10 °$ 的值所在的区间是（）

A、 $(\frac{1}{7}, \frac{1}{6})$ B、 $(\frac{1}{6}, \frac{1}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, y = f (x) + e^{x}$ 是偶函数， $y = f (x) - 3 e^{x}$ 是奇函数，则 $f (ln 3)$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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18、设正实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a^{2} - a b + 4 b^{2} - c = 0$ ，则当 $\frac{c}{a b}$ 取得最小值时， $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} - \frac{6}{c}$ 的最大值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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19、函数 $f (x) = \frac{x cos x}{e^{|x| - 1}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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20、设函数 $f (x) = 3^{x (x - a)}$ 在区间 $(0, \frac{3}{2})$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $[- 3, 0)$ C、 $(0, 1]$ D、 $[3, + \infty)$

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