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相关试卷

1、问题：正实数a，b满足 $a + b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值.其中一种解法是： $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = (\frac{1}{a} + \frac{2}{b}) (a + b) = 1 + \frac{b}{a}$ $+ \frac{2 a}{b} + 2 \geq 3 + 2 \sqrt{2}$ ，当且仅当 $\frac{b}{a} = \frac{2 a}{b}$ 且 $a + b = 1$ 时，即 $a = \sqrt{2} - 1$ 且 $b = 2 - \sqrt{2}$ 时取等号.学习上述解法并解决下列问题：

(1)、若正实数x，y满足 $x + y = 1$ ，求 $\frac{2}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值；

(2)、若实数a，b，x，y满足 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，求证： $a^{2} - b^{2} \leq {(x - y)}^{2}$ ；

(3)、求代数式 $M = \sqrt{3 m - 5} - \sqrt{m - 2}$ 的最小值，并求出使得M最小的m的值.

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2、LED灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元每生产 $x$ 万件该产品，需另投入变动成本 $W (x)$ 万元，在年产量不足6万件时， $W (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$ ，在年产量不小于6万件时， $W (x) = 7 x + \frac{100}{x} - 39$ ．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．

(1)、写出年利润 $L (x)$ (万元)关于年产量 $x$ (万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)

(2)、年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

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3、已知 $a, b, c > 0$ ，且 $a + 2 b + 3 c = 4$ ．

(1)、证明： $\frac{{(2 b + 3 c)}^{2}}{a + 2 b} + \frac{{(a + 3 c)}^{2}}{2 b + 3 c} + \frac{{(a + 2 b)}^{2}}{a + 3 c} \geq 8$ ．

(2)、若 $2 b = 3 c$ ，求 $\frac{1}{2 a + 1} - \frac{1}{2 b + 3} + \frac{a}{3 c + 3}$ 的最小值．

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4、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x - 6 < 0\}$ ， $B = \{x |m + 1 < x < 2 m - 1\}$ 且 $B \neq \emptyset$ .

(1)、若“命题 $p : \exists x \in A$ ， $x \in B$ ”是真命题，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $s : x \in B$ 是 $t : x \in A$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、已知 $R$ 为全集，集合 $A = \{x | \frac{2 x - 1}{x + 1} \leq 1, x \in R\}$ ，集合 $B = \{x| a - 1 \leq x \leq a + 1\}$ ．

(1)、求集合A；

(2)、若 $B \cap ∁_{R} A = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、定义集合 $P = {x | a \leq x \leq b}$ 的“长度”是 $b - a$ ，其中a， $b \in$ R ．已如集合 $M = {x | m \leq x \leq m + \frac{1}{2}}$ ， $N = {x | n - \frac{3}{5} \leq x \leq n}$ ，且M，N都是集合 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ 的子集，则集合 $M \cap N$ 的“长度”的最小值是；若 $m = \frac{6}{5}$ ，集合 $M \cup N$ 的“长度”大于 $\frac{3}{5}$ ，则n的取值范围是.

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7、已知 $a > 0, b > 0, a b + 2 (a + b) = 14$ ，则下列正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $11 - 6 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{a + 2} + \frac{3}{b + 2}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、 $(a + 1) b$ 最大值为8 D、 $2 a + b$ 的最大值为6

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 2, x \leq - 1 \\ x^{2} + 1, - 1 < x < 2 \end{array}$ ，下列关于函数 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $R$ B、 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, 5)$ C、若 $f (x) = 3$ ，则 $x = \sqrt{2}$ D、 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 2$ 有一个交点

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9、已知非空集合 $A, B, C$ 都是 $R$ 的子集，满足 $B \subseteq A$ ， $A \cap C = \emptyset$ ，则（）

A、 $A \cup B = A$ B、 $A \cap (∁_{R} C) = A$ C、 $B \cap C = B$ D、 $B \cap (∁_{R} C) = B$

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10、已知 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，集合 $A = \{x \in Z |0 < [x] < 3\}$ ， $B = \{x |(x^{2} + a x) (x^{2} + 2 x + b) = 0\}$ ，且 $A \cap ∁_{R} B = \emptyset$ ，则集合B的子集个数为（）．

A、4 B、8 C、16 D、32

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11、关于x的不等式 $x^{2} - (1 + 2 a) x + 2 a < 0$ 的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是（）

A、 $\{a |- 2 \leq a < - 1 或 3 < a \leq 4\}$ B、 $\{a |- 2 \leq a \leq - 1 或 3 \leq a \leq 4\}$ C、 $\{a |- 1 \leq a < - \frac{1}{2} 或 \frac{3}{2} < a \leq 2\}$ D、 $\{a |- 1 \leq a \leq - \frac{1}{2} 或 \frac{3}{2} \leq a \leq 2\}$

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12、不等式 $a x^{2} - b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- 2 < x < 1\}$ ，则函数 $y = a x^{2} - b x + c$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知集合 $A = \{x |x = 2 k + \frac{1}{3}, k \in Z\}$ ， $B = \{x |x = \frac{2 k + 1}{3}, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $A \cap B = \emptyset$ C、 $A = B$ D、 $A \supseteq B$

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14、“ $a > b$ ”是“ $\frac{b}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $y = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1}$ 与 $y = x$ B、 $y = \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ 与 $y = x - 1$ C、 $y = \frac{x^{2}}{x}$ 与 $y = x$ D、 $y = \frac{|x|}{x}$ 与 $y = 1$

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16、已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $- x^{2} + 4 x + 3 > 0$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $- x^{2} + 4 x + 3 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $- x^{2} + 4 x + 3 < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $- x^{2} + 4 x + 3 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $- x^{2} + 4 x + 3 < 0$

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17、我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为 $y = u {(x)}^{v (x)} (u (x) > 0)$ .幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数 $y = x^{x}$ ， $y^{'} = (x^{x})^{'} = [{(e^{\ln x})}^{x}]^{'} = (e^{x \ln x})^{'} = e^{x \ln x} (\ln x + 1)$ .

(1)、已知 $f (x) = x^{x + \frac{1}{x}}$ ， $x > 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，研究函数 $g (x) = {(\frac{1 + a^{x}}{3})}^{\frac{1}{x}} (x > 0)$ 的单调性；

(3)、已知 $m$ ， $n$ ， $s$ ， $t$ 均大于0，且 $m \neq n$ ，讨论 ${(\frac{m^{s} + n^{s}}{3})}^{t}$ 和 ${(\frac{m^{t} + n^{t}}{3})}^{s}$ 的大小关系.

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点.

(1)、若椭圆上点 $P$ 满足 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，求 $|P F_{1}|$ 的值；

(2)、点 $A$ 为椭圆的右顶点，定点 $T (t, 0)$ 在 $x$ 轴上，若点 $S$ 为椭圆上一动点，当 $|S T|$ 取得最小值时点 $S$ 恰与点 $A$ 重合，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、已知 $m$ 为常数，过点 $F_{2}$ 且法向量为 $(1, - m)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $M$ 、 $N$ 两点，若椭圆 $C$ 上存在点 $R$ 满足 $\vec{O R} = λ \vec{O M} + μ \vec{O N}$ （ $λ ， μ \in R$ ），求 $λ μ$ 的最大值.

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19、某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各场比赛的结果相互独立．

(1)、求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；

(2)、此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{a - 3^{x + 1}}{3^{x} + b}$ 是定义在R上的奇函数 $(a > 0, b > 0)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求当 $x \in [0, 1]$ 时，函数 $g (x) = f (x) \cdot (3^{x} + 1) + 9^{x} - 1$ 的值域．

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