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相关试卷

1、实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + 4 b^{2} = 2$ ，则（）

A、 $a b \leq \frac{1}{2}$ B、 $a + b$ 的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $a - b \in [- \frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2}]$ D、 $(a + 2 b) (a^{3} + 8 b^{3})$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$

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2、记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $s i n C =$ $(\frac{b}{4} - c o s C) t a n A$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{5}{2}$ ，且 $A$ 为锐角，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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3、已知 $x > 1$ ， $y > 0$ ，且 $x + \frac{2}{y} = 2$ ，则 $\frac{1}{x - 1} + y$ 的最小值是．

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4、已知 $a > b > 0$ ， $a + b = 1 .$ 则下列结论正确的有（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $2^{2 a} + 2^{2 b + 1}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2 a + b} + \frac{4}{a + 2 b}$ 的最小值为3 D、 $a + s i n b < 1$

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5、记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c成等比数列，以边 $A C$ 为直径的圆的面积为 $4 π$ ，若 $△ A B C$ 的面积不小于 $4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰非等边三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等边三角形

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6、已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + 3 | x - 1 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、记（1）中不等式的解集为 $M,$ $M$ 中的最大整数值为 $t$ ，若正实数 $a, b$ 满足 $a + b = t$ ，求 $\frac{2}{a + 1} + \frac{8}{b + 2}$ 的最小值．

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7、已知函数 $f (x) = | x + 2 | + 2 | x - 3 |$

(1)、若不等式 $f (x) \geq m$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、在（1）的条件下，若 $a 、 b 、 c$ 为正实数，且三数之和为m的最大值，求证： $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{25}{3}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a + b + c = 2$ ，则 $\frac{4}{a + b} + \frac{1}{c}$ 的最小值为．

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9、若对任意 $x > 0$ ， $x^{3} + 5 x^{2} + 4 x \geq a x^{2}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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10、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 \sqrt{2}$ ，若 ${(a - b)}^{2} \geq 4 {(a b)}^{3}$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ．

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11、已知正数 $m, n$ 满足 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 2^{\frac{3}{2}}$ ，则（）

A、 $m n \geq \frac{1}{2}$ B、 $m^{2} + n^{2} \geq 2$ C、 $m + n ≥ \frac{3}{2}$ D、 $\exists m, n \in (0, + \infty), (\frac{m - n}{2 m n})^{2} ≥ m n$

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12、若函数 $y = l o g_{a} (x - 2) + 1 (a > 0$ ，且 $a \neq 1)$ 的图象所过定点恰好在椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1 (m > 0, n > 0)$ 上，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、6 B、12 C、16 D、18

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13、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线上的点 $M (4, y_{0})$ 到 $F$ 的距离为6，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 在抛物线的准线上，过点 $F_{1}$ 向双曲线的渐近线作垂线，垂足为 $H$ ，则 $H$ 与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（）．

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

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14、设 $a = l g \frac{2}{3}$ ， $b = \sqrt{l g 3 \cdot l g 2}$ ， $c = \frac{1}{2} l g 6$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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15、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $a + b = 12, c = 8$ ，则此三角形面积的最大值为．

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16、在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为 $2 \sqrt{2}$ ，则该矩形周长的最大值为.

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17、加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙）．已知长方形R的四边均与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 相切，则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的离心率为 $e = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、椭圆C的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 6$ C、椭圆C的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 9$ D、长方形R的面积最大值为18

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18、“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 $α$ 满足 $c o s α = \frac{1}{3}$ ，则这块四边形木板周长的最大值为（）

A、 $\frac{10 (\sqrt{30} + \sqrt{15})}{3} c m$ B、 $\frac{10 (\sqrt{30} - \sqrt{15})}{3} c m$ C、 $\frac{10 (\sqrt{10} + \sqrt{5})}{3} c m$ D、 $\frac{10 (\sqrt{10} - \sqrt{5})}{3} c m$

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19、疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示， $P Q$ 为街道路面， $A B$ 为消毒设备的高， $B C$ 为喷杆， $A B ⊥ P Q$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $C$ 处是喷洒消毒水的喷头，其喷洒范围为路面 $A Q$ ，喷射角 $∠ D C E = \frac{π}{3}$ .若 $A B = 3$ ， $B C = 6$ ，则消毒水喷洒在路面上的宽度 $D E$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $5 \sqrt{3}$

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20、设 $x, y \in R$ ， $a > 1$ ， $b > 1$ ，若 $a^{x} = b^{y} = 3$ ， $3 a + b = 18$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最大值为．

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