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相关试卷

1、已知 $2^{a} = l o g_{\frac{1}{2}} a$ ， ${(\frac{1}{2})}^{b} = l o g_{\frac{1}{2}} b$ ，则下面正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a < \frac{1}{4}$ C、 $b > \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $| a - b | < \frac{1}{2}$

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2、设n次多项式 $P_{n} (t) = a_{n} t^{n} + a_{n - 1} t^{n - 1} + ⋯ + a_{2} t^{2} + a_{1} t + a_{0} (a_{n} \neq 0)$ ，若其满足 $P_{n} (c o s x) = c o s n x$ ，则称这些多项式 $P_{n} (t)$ 为切比雪夫多项式.例如：由 $c o s θ = c o s θ$ 可得切比雪夫多项式 $P_{1} (x) = x$ ，由 $c o s 2 θ = 2 c o s^{2} θ - 1$ 可得切比雪夫多项式 $P_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ .

(1)、若切比雪夫多项式 $P_{3} (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，求实数a ， b ， c ， d的值；

(2)、对于正整数 $n ⩾ 3$ 时，是否有 $P_{n} (x) = 2 x \cdot P_{n - 1} (x) - P_{n - 2} (x)$ 成立？

(3)、已知函数 $f (x) = 8 x^{3} - 6 x - 1$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上有3个不同的零点，分别记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ .

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3、已知函数 $f (x) = (x^{2} + x) e^{x} + l n x$ 的零点为 $x_{0}$ ，下列判断正确的是（）

A、 $x_{0} < \frac{1}{2}$ B、 $x_{0} > \frac{1}{e}$ C、 $e^{x_{0}} + l n x_{0} < 0$ D、 $x_{0} + l n x_{0} < 0$

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4、已知函数 $f (x) = \frac{c x - 1}{x + 1}$ （ $c$ 为常数），若1为函数 $f (x)$ 的零点.

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、证明函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是单调增函数；

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5、已知 $0 < a < 1$ ，函数 $f (x) = \frac{a e^{x - a}}{x} (x \neq 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间.

(2)、讨论方程 $f (x) = a$ 的根的个数.

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6、已知函数 $f (x) = (x - 3) e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ 在区间 $(2 m - 2, 3 + m)$ 上不单调，则m的取值范围是．

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7、已知函数 $f (x) = s i n (π x + \frac{π}{3})$ 在 $[- 1, m]$ 内恰有3个零点，则 $m$ 的取值范围是．

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8、函数 $f (x) = l n x + 2 x - 6$ 零点的一个近似值为.（误差不超过0.25）

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9、下列选项中说法正确的是（）

A、若幂函数 $f (x) = m x^{α}$ 过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $m + α = \frac{3}{2}$ B、用二分法求方程 $3^{x} + 3 x - 8 = 0$ 在 $x \in (1, 2)$ 内的近似解的过程中得到 $f (1) < 0$ ， $f (1.5) > 0$ ， $f (1.25) < 0$ ，则方程的根落在区间 $(1.25, 1.5)$ 上 C、某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩 $ξ$ 近似服从正态分布 $N (95, σ^{2})$ ，且 $P (91 < ξ \leq 95) = 0.3$ ，若该校 $1800$ 学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于 $99$ 分的学生人数为 $360$ D、 $5$ 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 $25$ 种

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10、某同学用二分法求函数 $f (x) = 2^{x} + 3 x - 7$ 的零点时，计算出如下结果： $f (1.5) = 0.33, f (1.25) = - 0.87$ ， $f (1.375) = - 0.26, f (1.4375) = 0.02, f (1.4065) = - 0.13, f (1.422) = - 0.05$ ，下列说法正确的有（）

A、 $1.4065$ 是满足精度为 $0.01$ 的近似值. B、 $1.375$ 是满足精度为 $0.1$ 的近似值 C、 $1.4375$ 是满足精度为 $0.01$ 的近似值 D、 $1.25$ 是满足精度为 $0.1$ 的近似值

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11、已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{1 - x} + l n x$ 的一个零点，若 $x_{1} \in (1, x_{0})$ ， $x_{2} \in (x_{0}, + \infty)$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) < 0$ ， $f (x_{2}) < 0$ B、 $f (x_{1}) > 0$ ， $f (x_{2}) > 0$ C、 $f (x_{1}) > 0$ ， $f (x_{2}) < 0$ D、 $f (x_{1}) < 0$ ， $f (x_{2}) > 0$

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12、若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - a x + \frac{4}{3} a + 1, x \geq \frac{4}{3} \\ x^{2} + a x - \frac{4}{3} a + 1, x < \frac{4}{3} \end{array}$ 恰有两个不同的零点 $m, n$ ，且 $m < n$ ，则 $n$ 的取值范围为．

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13、若函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} - k (x - 1) - 4$ 有两个零点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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14、已知函数 $h (x) = \frac{1}{a} x e^{x} + x^{2}$ ，若函数 $g (x) = \frac{2}{a} e^{x} + 2 x - 1$ 的图象与 $h (x)$ 的图象有两个不同的交点，则实数 $a$ 的可能取值为（）

A、 $- 3$ B、 $l n \frac{1}{2}$ C、 $l n 2$ D、 $3$

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15、已知函数 $f (x) = a x (e^{x} + e^{- x}) - e^{x} + e^{- x}$ 恰有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ B、实数 $a$ 的取值范围为 $(0, 1]$ C、 $a x_{1} + 1 > 0$ D、 $a x_{3} + a > 1$

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16、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 3 - 2 x | + 1, x > 0, \\ \frac{(x + 2)^{2}}{e^{x}}, x \leq 0 . \end{array}$ 若函数 $y = [f (x)]^{2} - a f (x)$ 有5个不同的零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(1, 4]$ C、 $(1, 4)$ D、 $(1, + \infty)$

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17、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x, x \leq 0, \\ l n (1 - x), 0 < x < 1, \end{array}$ 若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a x$ 恰有2个公共点，则 $a$ 的取值范围是.

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18、已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期为T ， $f (\frac{T}{6}) = f (\frac{T}{3})$ ，若 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 内恰有10个零点则 $ω$ 的取值范围是．

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19、已知函数 $f (x) = | s i n x | + c o s | 2 x |$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ D、若方程 $f (x) = a (a \in R)$ 在 $[- π, π]$ 上有且仅有8个不同的实根，则 $1 < a < \frac{9}{8}$

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20、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x}, x \leq 0 \\ - | l n x |, x > 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) + a f (x) + a - 1 = 0$ 的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（）．

A、 $(1 - \frac{1}{e}, 1)$ B、 $(- 1 - \frac{1}{e}, - 1)$ C、 $(1, 1 + \frac{1}{e})$ D、 $(1 - \frac{1}{e}, 1 + \frac{1}{e})$

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