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相关试卷

1、复数 $z$ 满足 $z = \frac{2}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ .

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2、若 $\overset{⃑}{O A} = (- 1, 2), \overset{⃑}{O B} = (1, - 1)$ ，则 $\overset{⃑}{A B} =$ ．

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3、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E_{1}, F_{1}$ 分别为 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $B E_{1} / / C F_{1}$ B、 $D F_{1} / /$ 平面 $A E_{1} B$ C、 $V_{B - A F_{1} C} = \frac{1}{6} V_{A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}$ D、若正方体的棱长为2，则三棱锥 $B - A F_{1} C$ 的表面积为 $2 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{2}$

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4、已知正三角形 $A B C$ 的边长为 $6, D, E$ 为边 $A C$ 上两点，且 $\vec{A D} = \vec{D E} = \vec{E C}, F$ 为边 $A B$ 上一点，且 $\vec{A F} = \vec{F B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{2}{3} \vec{B A}$ B、 $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ C、 $\vec{B D} \cdot \vec{B E} = 24$ D、 $\vec{F C}$ 与 $\vec{B D} + \vec{B E}$ 的夹角为 $60 °$

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5、在 $△ A B C$ 中，已知 $(b + c) : (c + a) : (a + b) = 4 : 5 : 6$ ，下列结论正确是（）

A、 $\sin A : \sin B : \sin C = 7 : 5 : 3$ ； B、 $C = \frac{5 π}{6}$ C、 $△ A B C$ 一定是钝角三角形； D、若 $b + c = 8$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ ．

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6、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $D D_{1}$ 的中点，则下列直线中与直线 $C_{1} M$ 是异面直线的有（）

A、 $D D_{1}$ B、 $C C_{1}$ C、 $B D_{1}$ D、 $C A_{1}$

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7、伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（）

A、 $1 : 2 : 3$ B、 $1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}$ C、 $1 : \sqrt{2} : 3$ D、 $2 : 3 : 6$

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $c = 4$ ，则 $\frac{\sin 2 C}{\sin A} =$ （）

A、1 B、-1 C、-2 D、2

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9、下列命题中，真命题为（）

A、若两个平面 $α / / β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a$ ∥ $b$ ； B、若两个平面 $α / / β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a$ 与b平行或异面； C、若两个平面 $α / / β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a$ 与b是异面直线； D、若两个平面 $α \cap β = b$ ， $a \subset α$ ，则 $a$ 与 $β$ 一定相交．

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10、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2)$ ， $\vec{B C} = (4, - 1)$ ，则向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{2}{5}, - \frac{1}{5})$ B、 $(- \frac{2}{5}, \frac{1}{5})$ C、 $(- \frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ D、 $(\frac{1}{5}, - \frac{2}{5})$

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11、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则角 $B$ 的值为（）

A、 $45 °$ B、 $45 °$ 或 $135 °$ C、 $90 °$ D、 $135 °$

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12、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, y)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $y =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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13、若复数 $z = 2 - 6 i$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 6 i$ B、 $6 i$ C、6 D、 $- 6$

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14、在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 135 °$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，双曲线C的虚轴长为2，有一条渐近线方程为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ．如图，点A是双曲线C上位于第一象限内的点，过点A作直线l与双曲线的右支交于另外一点B，连接 $A O$ 并延长交双曲线左支于点P，连接 $P F_{1}$ 与 $P F_{2}$ ，其中l垂直于 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线m，垂足为D．

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、求证：直线m与直线 $O A$ 的斜率之积为定值；

(3)、求 $\frac{S_{△ A P B}}{S_{△ A P D}}$ 的最小值．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - sin x + a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、①求证： $f (x)$ 有且仅有一个极值点；
②当 $a \in [- 1 - π, 1]$ 时，设 $f (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，若 $g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 sin x - 2 x$ .求证： $f (x_{0}) \geq g (x_{0})$

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17、如图所示，圆台 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面 $A_{1} A C C_{1}$ 为等腰梯形， $A C = 2 A A_{1} = 2 A_{1} C_{1} = 4, B$ 为底面圆周上异于 $A, C$ 的点，且 $A B = B C, P$ 是线段 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $C_{1} P$ $/ /$ 平面 $A_{1} A B$ .

(2)、求平面 $A_{1} A B$ 与平面 $C_{1} C B$ 夹角的余弦值.

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18、若直线 $y = a x + 1$ 与曲线 $y = b + \ln x$ 相切，则 $a b$ 的取值范围为.

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\sqrt{2} (a^{2} + b^{2} - c^{2}) = a b sin C$ ，且 $c = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2, A B ⊥ B C$ ， $P, Q$ 分别为棱 $B C, A_{1} C_{1}$ 上的动点，且 $\vec{B P} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{C_{1} Q} = λ \vec{C_{1} A_{1}}$ ， $λ \in (0, 1)$ ，则（）

A、存在 $λ$ 使得 $P Q ⊥ A_{1} B$ B、存在 $λ$ 使得 $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ C、若 $B B_{1}, B_{1} C_{1}$ 长度为定值，则 $λ = \frac{1}{2}$ 时三棱锥 $B - A_{1} P Q$ 体积最大 D、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，直线 $P Q$ 与 $A_{1} B$ 所成角的余弦值的最小值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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