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相关试卷

1、已知锐角 $α$ 的终边经过点 $(2, 1)$ ，

(1)、求 $\cos 2 α$ ， $\sin 2 α$ ；

(2)、若 $\cos (β - α) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，且 $β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $α + β$ .

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2、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 4 \sqrt{2}$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最大值为.

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3、已知 $\cos (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ .

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4、若纯虚数 $z = a^{2} - 1 + (a + 1) i$ ，则 $a$ $=$ .

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的数量积（又称向量的点积或内积）： $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角；定义向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的向量积（又称向量的叉积或外积）： $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 为非零向量，且 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ B、若四边形 $A B C D$ 为平行四边形，则它的面积等于 $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ C、已知点 $A (2, 0)$ ， $B (- 1, \sqrt{3})$ ， $O$ 为坐标原点，则 $|\vec{O A} \times \vec{O B}| = 2 \sqrt{3}$ D、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{\sqrt{3}}{3} \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值为 $12 + 8 \sqrt{3}$

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（）

A、若 $A = 45 °$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 4$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $\frac{c}{\cos B} = \frac{b}{\cos C}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $B = 60 °$ ， $b^{2} = a c$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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7、下列命题中正确的是（）

A、若 $z = 1 - 2 i$ ，则 $|z| = \sqrt{5}$ B、若 $z = i + 1$ ，则 $z \cdot \bar{z} = - 2$ C、已知 $m, n \in R$ ， $i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，则 $m + n = 1$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - 1| = 2$ ，则 $|z + i|$ 的最大值为 $2 + \sqrt{2}$

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8、如图，已知 $A O B$ 是半径为 $4$ ，圆心角为 $\frac{π}{2}$ 的扇形，点 $E ， F$ 分别是 $O A ， O B$ 上的两动点，且 $E F =2$ ，点 $P$ 在圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上，则 $\vec{P E} ⋅ \vec{P F}$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $19−8 \sqrt{2}$ D、 $16−8 \sqrt{2}$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $M$ 是 $A B$ 上的点且满足 $\vec{A M} = 3 \vec{M B}$ ， $N$ 是 $A C$ 上的点且满足 $\vec{A N} = \vec{N C}$ ， $C M$ 与 $B N$ 交于 $P$ 点，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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10、“元素周期大厦”是百年名校川大附中校园里的标志性建筑之一.如图，身高1.6m的李红同学为了测量该建筑的高度，在其正前方A处观察建筑的顶端的仰角为30°，然后向前行走 $(2 \sqrt{3} - 2) m$ 到B处，观察其顶端的仰角为45°，则此建筑的高度大约为（）

A、2.6m B、3.2m C、3.6m D、4m

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11、中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 $2 \sin 18 °$ 表示，即 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 2 \sin 18 °$ ，则 $\frac{\cos 18 °}{(2 - m^{2}) \cdot \sin 36 °}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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12、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$

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13、已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 - i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 所对的边分别是 $a ､ b ､ c$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上且 $B D = D C$ .已知边 $c = 2, A = \frac{π}{3}$ 且 $2 c sin A cos B = a sin A - b sin B + b sin C$ .

(1)、求边 $b$ 的长度；

(2)、若点 $E ､ F$ 分别为线段 $A B$ ､线段 $A C$ 上的动点，且线段 $E F$ 交 $A D$ 于 $G$ 且 $△ A E F$ 的面积为 $△ A B C$ 面积的一半，求 $\vec{A G} \cdot \vec{E F}$ 的最小值.

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15、如图，已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $E$ 为侧棱 $S C$ 的中点.

(1)、求证： $S A$ ∥平面 $E D B$ ；

(2)、已知 $F$ 为棱 $A B$ 上的点，若 $E F$ ∥平面 $S A D$ ，求证： $F$ 是 $A B$ 的中点.

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16、已知向量 $\vec{a} = （ \cos θ, \sin θ ）, \vec{b} = （ \sqrt{3}, - 1 ）$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值.

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17、如图所示，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D ⊥ A B$ ， $A D / / B C$ ，若将图中阴影部分绕 $A B$ 旋转一周.
（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.
（2）求阴影部分形成的几何体的体积.

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18、已知复数 $z = a + 2 i (a \in R)$ ，且 $z (2 - i)$ 是纯虚数．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若复数 ${(z - m i)}^{2} (m \in R)$ 在复平面内对应的点在第四象限，求 $m$ 的取值范围．

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19、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘 $A$ ， $B$ 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 $C$ ， $D$ ，测得 $C D = 8$ 海里， $∠ A D B = 135 °$ ， $∠ B D C$ $= ∠ D C A = 15 °$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，则 $A$ ， $B$ 两点的距离为海里.

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20、已知水平放置的 $△ A B C$ 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中 $B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ， $∠ B^{'} A^{'} C^{'} = 90 °$ ， $A^{'} O^{'} =$ ，则原 $△ A B C$ 的面积为.

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