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相关试卷

1、已知 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} + S_{n + 1} = a_{n + 1}^{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(2 a_{n} - 1) (2 a_{n} + 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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2、已知点M在直线 $l : 2 x + y + 3 = 0$ 上，点P在圆 $C : x^{2} + {\dot{y}}^{2} - 6 x = 0$ 上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为．

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3、已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为．

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4、文娱晚会中，学生的节目有4个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则不同排法种数为（用数字作答）．

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5、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + y) = f (x) f (y) - f (2 - x) f (2 - y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ， $f (- 2) = 0$ ，则（）

A、 $f (2) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 ${[f (x)]}^{2} + {[f (2 + x)]}^{2} = 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{2023} f (i) = - 1$

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6、将函数 $y = \sin 2 ω x (ω > 0)$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $f (x)$ ，下列关于 $f (x)$ 的说法一定正确的是（）

A、当 $ω = 1$ 时， $f (x)$ 关于 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 B、 $f (x)$ 关于 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 对称 C、当 $1 < ω < \frac{3}{2}$ 时， $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{12})$ 上单调递增 D、若 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ 上有3个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{3}{2}, \frac{9}{4}]$

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7、已知一组数据8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，则这组数据的（）

A、众数为12 B、平均数为14 C、中位数为14.5 D、第25百分位数为12

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8、已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，y轴上一点A，使 $A F_{1} ⊥ P F_{1}$ ，若 $\vec{P F_{2}} = \frac{2}{5} \vec{P A}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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9、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 $c = 4$ ， $b = 2$ ， $∠ B A C$ 的平分线AD的长为 $\sqrt{6}$ ，则BC边上的高AH的长为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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10、某校选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队．选“初心”队的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且“初心”队获胜的概率为 $\frac{4}{5}$ ；选“使命”队的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且“使命”队获胜的概率为获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，则该校在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（）

A、 $\frac{3}{11}$ B、 $\frac{8}{11}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} + a (e^{x} + e^{- x}) + 3 (a > 0)$ ，则不等式 $f (2 x - 1) \leq f (x + 2)$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{3}] \cup [3, + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{3}, 3]$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, 3]$

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12、已知 $\{a_{n}\}$ 为递增的等比数列， $S_{n}$ 是它的前n项和，若 $a_{1} a_{5} = 2 a_{3}$ ，且 $2 a_{4}$ 与 $a_{5}$ 的等差中项为8，则 $S_{5}$ 等于（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\frac{31}{4}$ D、 $\frac{31}{2}$

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13、设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m // n$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $m // n$ ，则 $n // β$ C、若 $m$ ， $n$ 是两条不同的异面直线， $m / / α, n / / β$ ， $m \subset β$ ， $n \subset α$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ n$ ， $α // β$ ，则 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角互余

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14、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} |=2,| \vec{b} |=1,| \vec{a} −2 \vec{b} |=2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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15、已知方程 $\frac{x^{2}}{k + 5} + \frac{y^{2}}{3 - k} = 1$ 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）

A、 $(- 5, 3)$ B、 $(- 5, - 1)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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16、某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用 $X$ 表示选到男生的人数，则 $X \geq 1$ 的概率是.

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17、下列说法正确的是（）

A、设已知随机变量 $X, Y$ 满足 $Y = 3 X - 1, E (Y) = 5$ ，则 $E (X) = 2$ B、若 $X \sim B (10, \frac{1}{5})$ ，则 $D (X) = 2$ C、若 $X \sim N (2, σ^{2})$ ，设 $P (X \geq 1) = 0.6$ ，则 $P (X \geq 3) = 0.4$ D、若事件 $A, B$ 相互独立且 $0 < P (B) < 1$ ，则 $P (A ∣ B) = P (A ∣ \bar{B}) = P (A)$

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18、对于任意给定的四个实数 $a_{11}$ ， $a_{12}$ ， $a_{21}$ ， $a_{22}$ ，我们定义方阵 $A = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array})$ ，方阵 $A$ 对应的行列式记为 $det (A)$ ，且 $det (A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ ，方阵 $A$ 与任意方阵 $B = (\begin{array}{l} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array})$ 的乘法运算定义如下： $A \times B = C$ ，其中方阵 $C = (\begin{array}{l} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{array})$ ，且 $c_{m n} = \sum_{i = 1}^{2} a_{m i} b_{i n} (m, n \in \{1, 2\})$ .设 $M = (\begin{matrix} cos α & - sin α \\ sin α & cos α \end{matrix})$ ， $N = (\begin{matrix} cos β & sin β \\ - sin β & cos β \end{matrix})$ ， $E = (\begin{array}{l} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array})$ .

(1)、证明： $det (M \times N) = det (E)$ .

(2)、若方阵 $A$ ， $B$ 满足 $A \times B = E$ ，且 $det (A), det (B) \in Z$ ，证明： $|det (A) + det (B)| = det (M) + det (N)$ .

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19、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $H (- 4, y_{0})$ 到坐标原点 $O$ 的距离为 $4 \sqrt{2}$ .过点 $P (0, 2)$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，分别过 $A$ ， $B$ 两点作 $l$ 的垂线，并与 $y$ 轴相交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $|P N| = 4 |P M|$ ，求 $k$ 的值；

(3)、若 $k \in [1, 2]$ ，记 $△ P A M$ ， $△ P B N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} + S_{2}$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = a x + ln (x + 1)$ .

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合.

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