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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (x, 2)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的值为（）

A、4 B、5 C、 $3 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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2、已知集合 $A = \{- π, - e, 0, 1, e, π\}$ ， $B = \{x |x^{2} - x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, e\}$ B、 $\{- e, 0, 1\}$ C、 $\{- e, 0, 1, e\}$ D、 $\{0, 1, e, π\}$

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $c = 1, sin A = 2 sin C, cos B = \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积 $S =$ （）

A、1 B、 $2 \sqrt{15}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$

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4、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A C = 2$ ， $B C = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ .

(1)、若G点为 $△ P B C$ 的重心，求 $|\vec{A G}|$ ；

(2)、若 $A D ⊥ P B$ ，证明： $A D / /$ 平面 $P B C$ ；

(3)、若 $A D ⊥ D C$ ，且二面角 $A - C P - D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求 $A D$ .

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5、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，面 $P A D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D, P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、在棱 $P A$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $B M / /$ 平面 $P C D$ ？若存在，求 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，说明理由．

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6、设 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b (2 \cos A + \sin^{2} C) = c \sin B \sin C + b$ ， $c = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $△ A B C$ 为锐角三角形， $D$ 是边 $A C$ 的中点，则 $\vec{D B} \cdot \vec{A C}$ 的取值范围是．

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7、已知两平行直线的方向向量分别为 $\vec{a} = (4 - 2 m, m - 1, m - 1)$ ， $\vec{b} = (4, 2 - 2 m, 2 - 2 m)$ ，则实数 $m$ 的值为．

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8、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $E, F$ 分别为线段 $B_{1} C$ ， $D_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D B}$ ， $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ + μ = 1$ 时，三棱锥 $D - P E F$ 的体积为 $\frac{1}{24}$ B、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，四棱锥 $P - A B C D$ 外接球半径为 $\frac{3}{2}$ C、 $△ P E F$ 周长的最小值为 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{2}$ D、若 $A P = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长为 $\frac{π}{2}$

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9、先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为 $x, y$ ，设事件 $A_{1} =$ “ $x + y = 5$ ”，事件 $A_{2} =$ “ $y = x^{2}$ ”，事件 $A_{3} =$ “ $x + 2 y$ 为奇数”，则（）

A、 $P (A_{1}) = \frac{1}{9}$ B、 $P (A_{2}) = \frac{1}{12}$ C、 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 相互独立 D、 $A_{2}$ 与 $A_{3}$ 相互独立

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10、截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角，得到所有棱长均为2的截角四面体，则截角四面体各个面所在平面中，两个平面是相交平面的概率为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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11、已知事件 $A, B$ 互斥，它们都不发生的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且 $P (A) = 2 P (B)$ ，则 $P (\bar{A}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ .若实数 $λ$ 满足对任意的 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} - λ {(x_{1} - x_{2})}^{2}$ ，则称 $f (x)$ 满足 $P (λ)$ 性质.

(1)、若函数 $f (x) = a x^{2}$ 满足 $P (\frac{1}{2})$ 性质，求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、设 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x) (x \in R)$ ，且对任意的 $x_{1}, x_{2} \in R, x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $[f^{'} (x_{1}) - f^{'} (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 8 λ {(x_{1} - x_{2})}^{2}$ .
（i）证明： $f (x)$ 满足 $P (λ)$ 性质.
（ii）已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{f (n)}{n} - 4 λ n (n \in N^{*})$ ，若 $f (0) = 0$ ，证明： $a_{n + 1} \geq a_{n}$ .

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14、已知抛物线 $T : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过抛物线上一点 $A (1, p)$ 作两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别交抛物线 $T$ 于 $B, C$ 两点，直线 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 4$ .

(1)、求抛物线 $T$ 的方程.

(2)、证明：直线 $B C$ 过定点.

(3)、记直线 $B C$ 经过的定点为 $M, N$ 为直线 $B C$ 上一点（异于点 $M$ ），且满足 $\frac{|B M|}{|C M|} = \frac{|B N|}{|C N|}$ ，证明点 $N$ 在某定直线上，并求出该定直线的方程.

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15、如图所示，在边长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $A B, B C$ 上的点（异于端点），且 $A E = F C$ ．

(1)、证明： $A_{1} E$ 与 $C_{1} F$ 相交且交点在直线 $B B_{1}$ 上．

(2)、当直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $C_{1} A_{1} E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ 时，求 $A E$ 的值．

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16、某学校高三年级组织了一场校内知识挑战赛，共有5个班级参与，每个班级推选1名学生代表参加，其中1名学生代表来自A类班级，4名学生代表来自B类班级，学生甲是B类班级代表之一.在某一轮比赛中，随机选择两名学生代表进行比赛.若是同类班级代表比赛，则双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；若是A类班级代表与B类班级代表比赛，则B类班级代表获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ .

(1)、已知学生甲参赛，求在一轮比赛中，学生甲获胜的概率；

(2)、若每两个班级代表各进行一轮比赛，记B类班级代表甲获胜的轮数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望.

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $cos B = \frac{b}{c} = \frac{a + b}{2 c}$ .

(1)、证明： $a = c cos B$ .

(2)、求 $C$ .

(3)、若 $a = 3, D$ 为 $A B$ 上靠近点 $A$ 的三等分点，作 $B E ⊥ C D$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，求 $cos ∠ E B D$ .

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18、现从一含10个元素的集合 $S$ 的子集中随机选出2个不同的子集，被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有种.

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19、函数 $f (x) = |ln x| + 2 x$ 的最小值为.

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20、已知 $P$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 上的动点， $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，且 $|P A| + |P B| = 6$ ，则 $n =$ .

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