广东省广州市实验外语学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2025-11-25 类型：期中考试

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x > 2$ ， $x^{2} - 1 \geq 0$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x \leq 2$ ， $x^{2} - 1 > 0$ B、 $\exists x \leq 2$ ， $x^{2} - 1 < 0$ C、 $\exists x > 2$ ， $x^{2} - 1 < 0$ D、 $\forall x \leq 2$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$

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3. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ， $g (x) = x + 1$ C、 $f (t) = |t|$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$

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4. 若 $f (x) = - 2 x^{2} - (2 k + 1) x + 3$ 在 $[- 1, 2]$ 上是单调函数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[- \frac{9}{2}, \frac{3}{2}]$ C、 $(- \infty, - \frac{9}{2}]$ D、 $(- \infty, - \frac{9}{2}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$

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5. 已知幂函数 $f (x) = m x^{m - \frac{1}{2}}$ 满足条件 $f (3 - a) > f (a)$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $[0, 1)$ B、 $[0, \frac{3}{2})$ C、 $[0, \frac{3}{2}]$ D、 $[0, 3]$

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6. 已知偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (4) = 0$ ，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 4, 0) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4) \cup (0, 4)$ C、 $(- 4, 0) \cup (- 1, 4)$ D、 $(- \infty, - 4) \cup (4, + \infty)$

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7. 关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\{x| x < 2 或 x > 3\}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x^{2} - a x + c > 0$ 的解集为 $\{x| - \frac{6}{5} < x < 1\}$ C、 $a - b + c > 0$ D、不等式 $c x + b < 0$ 的解集为 $\{x |x > \frac{5}{6}\}$

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1 - 2^{x}, x \leq 0, \\ 2^{x} - 1, x > 0, \end{matrix}$ 若方程 ${[f (x)]}^{2} - (3 k + \frac{1}{3}) f (x) + k = 0$ 有三个不等的实根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $\{k |k \leq \frac{1}{3}\}$ B、 $\{k |k = 0 或 k \geq \frac{1}{3}\}$ C、 $\{k |k = 0 或 k > \frac{1}{3}\}$ D、 $\{k |k < \frac{1}{3}\}$

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分．

9. 对任意实数 $a, b, c$ ，下列命题中正确的是（）

A、“ $a < 5$ ”是“ $a < 3$ ”的必要条件 B、“ $a + 5$ 是无理数”是“ $a$ 是无理数”的充要条件 C、“ $a = b$ ”是“ $a c = b c$ ”的充要条件 D、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分条件

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10. 已知 $a, b, c \in R$ ，则（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a - c > b - c$ C、若 $a > b > 0$ ，则 $a > \sqrt{a b} > b$ D、若 $a < b < 1$ ，则 $\frac{a}{a - 1} < \frac{b}{b - 1}$

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11. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - a x + 2, x \geq a \\ {(x - 2)}^{2}, x < a \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 的最小值为0 B、若 $f (x)$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围为 $(- \infty, 0]$ C、若 $f (x)$ 是减函数，则 $a$ 的取值范围为 $(0, 2]$ D、若 $f (x)$ 存在零点，则 $a$ 的取值范围为 $(- \infty, - \sqrt{2}] \cup (0, \sqrt{2}] \cup (2, + \infty)$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知集合 $A = \{x |\frac{x - 3}{x + 2} \geq 0\}$ ，则 $∁_{R} A =$ ．

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13. 已知a，b为正实数，且满足 $a b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为.

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14. 定义 $m i n {a, b} = \{\begin{matrix} a, a < b \\ b, a \geq b \end{matrix}$ ，若函数 $f (x) = \min \{x^{2} - 3 x + 3, - | x - 3 | + 3\}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为；若 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上的值域为 $[\frac{3}{4}, 2]$ ，则 $n - m$ 的最大值为．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 计算：

(1)、 ${0.0625}^{\frac{1}{4}} + {[{(- 7)}^{6}]}^{\frac{1}{6}} - π^{0} + \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}}$

(2)、 ${log}_{3} 5 \cdot {log}_{5} 7 \cdot {log}_{7} 9 + {(lg 2)}^{2} + lg 2 \cdot lg 5 + lg 5$ .

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16. 已知集合 $A$ 是函数 $y = \sqrt{15 + 2 x - x^{2}}$ 的定义域， $B = \{x |2 a - 1 < x \leq a + 3\}$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{x + m}{x - m} (m \in R)$ 的图象经过点 $(2, 3)$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并求 $f [f (- 1)]$ 的值；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递减．

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18. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备 $x$ 万台且全部售完，每一万台的销售收入 $G (x)$ （万元）与年产量 $x$ （万台）满足如下关系式： $G (x) = \{\begin{array}{l} 180 - x, 0 < x \leq 20 \\ 70 + \frac{2000}{x} - \frac{8000}{x (x - 1)}, x > 20 \end{array}$

(1)、写出年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万台）的函数解析式（利润 $=$ 销售收入－成本）

(2)、当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + m x + n$ 的图象过点 $(0, - 1)$ ，且满足 $f (- 1) = f (2)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $[a, a + 2]$ 上的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ ；

(3)、若 $x_{0}$ 满足 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的不动点.函数 $g (x) = f (x) - t x + t$ 有两个不相等的不动点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} > 0, x_{2} > 0$ ，
①求实数 $t$ 的取值范围；②求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最小值.

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