广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高一上学期期中数学试题

试卷更新日期：2025-11-18 类型：期中考试

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一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合 $A = \{x| |x| < 2, x \in Z\}$ ， $B = \{x |- 1 < x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $(0, 1)$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $(- 1, 2)$

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2. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 2}} + \sqrt{4 - x}$ 的定义域为（）

A、 $[2, 4]$ B、 $(2, 4]$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $[4, + \infty)$

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3. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 对 $\forall x \in R$ ，使 $x^{2} - m x + 1 > 0$ 恒成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(- 1, 2)$

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5. 下列说法正确的是（）．

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$

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6. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0 (a, b, c \in R)$ 的解集为 ${x ∣ - 4 < x < 1}$ ，则 $t = \frac{c^{2} + 9}{a + b}$ 的取值范围为（）

A、 $\{t | t \geq - 6\}$ B、 $\{t | t > - 6\}$ C、 $\{t | t \leq - 6\}$ D、 $\{t | t < - 6\}$

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7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是（）

A、小于10g B、等于10g C、大于10g D、大于或等于10g

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8. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) = 2 f (x + 1)$ ，当 $x \in (0, 1]$ 时 $f (x) = 2^{x}$ ，若 $f (x) \leq \frac{\sqrt{2}}{8}$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{7}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{9}{2}, + \infty)$ C、 $(3, \frac{7}{2}] \cup (4, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{7}{2}] \cup (4, + \infty)$

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.）

9. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）

A、 $y = - x + 1$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = - x^{3}$ D、 $y = - x |x|$

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10. 设函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 3^{- x}}{2}, g (x) = \frac{3^{x} + 3^{- x}}{2}$ ，则（）

A、函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 为奇函数 B、 $f (2 x) = 2 f (x) \cdot g (x)$ C、函数 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 的值域为 $(- 1, 1)$ D、函数 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$ 在其定义域上为增函数

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11. 已知 $a$ 、 $b$ 均为正实数，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{b}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $5$ C、 $(a^{2} + \frac{1}{8}) (b^{2} + \frac{1}{8})$ 的最小值为 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{a^{2}}{a + 2} + \frac{b^{2}}{b + 1}$ 的最小值为 $\frac{1}{4}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. $\sqrt{\frac{25}{9}} - {(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}} - {(π - 3)}^{0} + {(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} =$

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13. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - k x + 4$ 在 $[5, 20]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围为．

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14. 已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数， $f (x) + g (x) = a x^{2} + x + 2$ ，则 $f (x) =$ ；若对于任意 $1 < x_{1} < x_{2} < 2$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题（本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18，19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 已知集合 $A = \{x |\frac{x - 6}{x + 2} \leq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 x < 0\}$ .

(1)、求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、已知集合 $C = \{x |m + 1 < x < 2 m - 1\}$ ，若“ $x \in C$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

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16. 设 $y = m x^{2} + (1 - m) x + m - 2$ ．

(1)、若不等式 $y \geq - 2$ 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $m x^{2} + (1 - m) x + m - 2 < m - 1 (m \in R)$ ．

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17. 如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区．设育苗区的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ ．

(1)、若有苗区面积为 $8 m^{2}$ ，则 $x, y$ 为何值时，所用篱笆总长最小；

(2)、若使用的篱笆总长为 $10 m$ ，则 $x, y$ 为何值时，篱笆所围的育苗区面积最大；

(3)、若使用的篱笆总长为 $10 m$ ，求 $\frac{2 x + y}{x y}$ 的最小值．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x + 1} + a}{3^{x} - 1}$ 是奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若方程 $f (9^{x} + 4) + f (t \times 3^{x + 2}) = 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恰有两个不相等的实数根，求 $t$ 的取值范围．

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19. 对于定义域为 $I$ 的函数 $f (x)$ ，如果存在区间 $[a, b] \subseteq I$ ，使得函数 $y = f (x)$ 在x∈ $[a, b]$ 时，值域是 $[k a, k b]$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数 $y = f (x)$ 在x∈ $[a, b]$ 时值域是 $[a, b]$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“完美区间”.

(1)、证明：函数 $f (x) = \frac{9}{2} - \frac{2}{x}$ 在定义域里存在“完美区间”；

(2)、如果二次函数 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{13}{2}$ 在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a，b；

(3)、是否存在实数 $a, b (b < 2)$ ，使得函数 $f (x) = |(x + \frac{4}{x}) - 5| = m$ ( $x \in (0, + \infty)$ )在区间 $[a, b]$ 单调，且 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

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