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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, - 3), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $4 \vec{a} + (3 \vec{b} - 2 \vec{a}) + \vec{c} = \vec{0}$ ，则向量 $\vec{c}$ 的坐标为（）

A、 $(1, - 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 4, 6)$ D、 $(4, - 6)$

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2、如图所示，动点 $P$ 在边长为1的正方形 $A B C D$ 的边上沿 $A \to B \to C \to D$ 运动， $x$ 表示动点 $P$ 由A点出发所经过的路程， $y$ 表示 $△ A P D$ 的面积，则函数 $y = f (x)$ 的大致图像是（）．

A、 B、 C、 D、

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3、已知 $\tan (3 π - α) = 3$ ，且 $α$ 是第二象限角，则 $\sin α$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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4、某几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的左视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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5、已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为 $(2, 0)$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则椭圆的标准方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ D、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

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6、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $\vec{A O} + \vec{O B} + \vec{A D} =$ （　　）

A、 $\vec{A B}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{B D}$

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7、过直线 $x + y + 2 = 0$ 与 $x - y - 4 = 0$ 的交点且与直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 垂直的直线方程为（）

A、 $x + 2 y + 5 = 0$ B、 $x + 2 y - 5 = 0$ C、 $2 x - y + 5 = 0$ D、 $2 x - y - 5 = 0$

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8、已知角 $a$ 终边上一点 $P (3, - 4)$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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9、若 $m$ 是2和8的等比中项，则实数 $m$ 的值是（）

A、5 B、 $- 5$ 或5 C、4 D、 $- 4$ 或4

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10、函数 $f (x) = \sqrt{|x - 1| - 3}$ 的定义域是（）

A、 $[4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2]$ C、 $[- 2, 4]$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [4, + \infty)$

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11、已知复数 $(2 x + y) - (x - y) i$ 的实部和虚部分别为5和 $- 1$ ，则实数 $x$ 和 $y$ 的值分别是（）

A、2， $- 1$ B、2，1 C、 $- 1$ ， 2 D、1， $- 2$

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12、已知扇形的圆心角为3rad，面积为24，则该扇形的弧长为（）

A、4 B、 $4 π$ C、12 D、 $12 π$

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13、阅读下列材料，回答问题：
如图，在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过原点 $O$ 与 $z$ 轴成 $θ$ 角 $(0 < θ < \frac{π}{2})$ 的直线绕 $z$ 轴一周，生成以 $O$ 为顶点 $z$ 轴为对称轴的两个圆锥形的几何体 $Ω$ ，不经过原点 $O$ 与 $z$ 轴成 $φ$ 角 $(0 \leq φ \leq \frac{π}{2})$ 的平面 $α$ 截几何体 $Ω$ 的表面得到的截口曲线称为圆锥曲线.

当 $θ < φ < \frac{π}{2}$ 时，平面 $α$ 截几何体 $Ω$ 的表面得到的截口曲线在一个圆锥上，以下证明它是椭圆：如图，在该圆锥内放置两球 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，使它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点分别形成圆 $K_{1}$ 和圆 $K_{2}$ ）且与平面 $α$ 相切（位于平面 $α$ 上下两侧），切点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{1}$ ，在截口曲线上任取一点P，作直线 $O P$ 交圆 $K_{1} ､ K_{2}$ 于点 $Q_{1} ､ Q_{2}$ ，连接 $P F_{1}$ 和 $P Q_{1}$ ，因为 $P F_{1}$ 和 $P Q_{1}$ 都是大球的切线段，所以 $P F_{1} = P Q_{1}$ ，同理 $P F_{2} = P Q_{2}$ ，所以 $P F_{1} + P F_{2} = P Q_{1} + P Q_{2} = Q_{1} Q_{2}$ ，因为两球外离， $F_{1} F_{2}$ 和 $Q_{1} Q_{2}$ 分别是两球的内外公切线段，都为定值且 $F_{1} F_{2} < Q_{1} Q_{2}$ ，所以此时平面 $α$ 截圆锥得到的圆锥曲线满足椭圆定义，应为椭圆.依据上述材料所述，请回答：


(1)、当 $φ = θ$ 时，对应的圆锥曲线是什么曲线？（直接回答不必证明）

(2)、当 $0 < φ < θ$ ，对应的圆锥曲线是什么曲线？并根据所给图形利用材料所提供的思路进行证明；


(3)、如图，将等边 $△ A B C$ 绕边 $B C$ 旋转至 $△ A^{'} B C$ ，并且使二面角 $A - B C - A^{'}$ 为直二面角，动点 $P$ 在平面 $A^{'} B C$ 上并且 $∠ P A A^{'} = \frac{π}{3}$ ，判断动点 $P$ 的轨迹，并求其离心率.


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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过点 $A (1, \frac{3}{2})$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过点 $B (0, 2)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $M, N$ 两点，若直线 $A M, A N$ 的斜率都存在且分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，

(1)、求椭圆 $C$ 的方程

(2)、求 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 的值

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15、如图， $A B C D$ 为圆柱的轴截面， $P$ 为底面半圆周上一点， $E$ 为 $P C$ 中点， $B E ⊥ A C$

(1)、若 $B C = 1$ ，求 $P B$ 的长

(2)、若 $P A = 2 P B$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $A B E$ 所成夹角的余弦值

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16、已知圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ ．

(1)、若直线l过点 $(- 2, 0)$ 且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；

(2)、从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且 $| P M | = | P O |$ ，求 $| P M |$ 的最小值．

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17、如图，已知 $a, b$ 是相互垂直的两条异面直线，直线 $A B$ 与 $a, b$ 相交且垂直，垂足为 $A, B$ ，且线段 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，动点 $P, Q$ 分别位于直线 $a, b$ 上，若直线 $P Q$ 与 $A B$ 所成的角 $θ = \frac{π}{6}$ ，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，则以下结论：
① $P Q$ 的长度为定值4.
②三棱锥 $A - B P Q$ 的体积为定值.
③点 $M$ 的轨迹是圆；
其中正确的有（填写编号）

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18、在平面直角坐标系中，已知某直线沿 $x$ 轴正方向平移3个单位，再沿 $y$ 轴负方向平移2个单位直线回到原来位置，则此直线的斜率 $k =$ .

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19、已知四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，对角线 $A C, B D$ 过原点 $O$ ，且 $k_{A C} \cdot k_{B D} = - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ ，则（）

A、 $| O A |^{2} + | O B |^{2}$ 是定值 B、 $|A C| \cdot |B D|$ 是定值 C、四边形 $A B C D$ 的面积是定值 D、四边形 $A B C D$ 的周长是定值

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20、在空间直角坐标系中，已知点 $A (- 1, - 1, 0), B (0, 2, - 1), C (2, 0, 1)$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则（）

A、 $G$ 点的坐标是 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 0)$ B、 $\vec{n} = (- a, a, 2 a)$ 是平面 $A B C$ 的法向量 C、平面 $A B C$ 过原点 $O (0, 0, 0)$ D、 $△ A B C$ 为锐角三角形

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