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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}, B = \{x |y = \sqrt{x - 2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 3)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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2、蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段 $A B$ ，作一个等边三角形 $A B C$ ，然后以点B为圆心， $A B$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $C B$ 的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心， $C D$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $A C$ 的延长线于点E，再以点A为圆心， $A E$ 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（）

A、 $44 π$ B、 $64 π$ C、 $70 π$ D、 $80 π$

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3、如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $B F ⊥ A D$ ， $B C = 2$ ， $B E = E F = F C = 1$ ．

(1)、求证：平面 $B C F E ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $A E$ 与平面 $B C F E$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，求平面 $D E C$ 和平面 $A B C$ 所成角的正切值．

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4、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、试判断直线 $B D_{1}$ 与平面 $A C E$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，求点 $B$ 到平面 $A B_{1} C$ 的距离．

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5、 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $b + c = 2 a \sin (C + \frac{π}{6})$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的内切圆面积为 $π$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的最小值.

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6、已知 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ）满足 $f (\frac{π}{4}) = 1$ ， $f (\frac{5 π}{3}) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{6})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为.

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7、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，且 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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8、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，Q是棱 $D D_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、不存在点Q，使得 $C_{1} Q // A_{1} C$ B、存在点Q，使得 $C_{1} Q ⊥ A_{1} C$ C、对于任意点Q，Q到 $A_{1} C$ 的距离的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、对于任意点Q， $△ A_{1} C Q$ 都是钝角三角形

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9、下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是（）

A、我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B、这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C、这六年增长率最大的为2019年至2020年 D、2020年销量高于这六年销量的平均值

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10、下列命题中正确的是（）

A、已知复数 $z = a + b i, a, b \in R$ ，则当且仅当 $a = 0$ 时 $z$ 为纯虚数 B、已知复数 $a^{2} - 4 + (a + 2) i (a \in R)$ 为实数，则 $a = - 2$ C、已知复数 $z = - 2 i$ ，则 $|z| = 2$ D、已知复数 $z = - 1 + 2 i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限

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11、如图，在三棱锥 $P - A B C$ ， $△ P A C$ 是以AC为斜边的等腰直角三角形，且 $C B = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = A C = \sqrt{6}$ ，二面角 $P - A C - B$ 的大小为 $120 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{10}}{3} π$ B、 $10 π$ C、 $9 π$ D、 $(4 + 2 \sqrt{3}) π$

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12、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (a, b)$ 与 $\vec{n} = (\cos A, \sin B)$ 平行．若 $c = 2$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则BC边上的中线AD为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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13、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $D C, A B = 2 D C, E, F$ 分别为 $D C, C B$ 的中点，若 $\vec{A C} = x \vec{A E} + y \vec{A F}$ ，其中 $x, y \in R$ ，则 $x + y$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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14、已知一组数据： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ 的平均数是10，方差是4，则 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, 2 x_{3} + 1$ ， $2 x_{4} + 1, 2 x_{5} + 1, 2 x_{6} + 1$ 的方差是（）

A、16 B、14 C、12 D、18

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15、设 $a, b$ 是两条不同的直线， $α$ 是平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a / / b, b \subset α$ ，则 $a / / α$ B、若 $a / / α, b \subset α$ ，则 $a / / b$ C、若 $a / / b, a / / α, b ⊄ α$ ，则 $b / / α$ D、若 $a / / α, b / / α$ ，则 $b / / a$

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16、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{6}{5}, - \frac{8}{5})$ B、 $(- \frac{6}{25}, \frac{8}{25})$ C、 $(\frac{3}{25}, - \frac{4}{25})$ D、 $(\frac{6}{25}, - \frac{8}{25})$

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17、若 $sin θ = - \frac{4}{5}, tan θ > 0$ ，则 $cos θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + b (b \in R)$ 有极小值 $- 7$ .
（1）求实数b的值；
（2）求f（x）在区间 $[- 3, 4]$ 上的最大值和最小值.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 3} (n \in N^{*})$
（1）证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列
（2）若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{n (3^{n} - 1)}{2^{n}} \cdot a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和， $2 + a_{5} = a_{6} + a_{3}$ ，则 $S_{7} =$ .

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