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相关试卷

1、如图，在正四面体 $P - A B C$ 中， $E, F$ 是棱 $P C$ 的两个三等分点．

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求出二面角 $P - A B - E, E - A B - F, F - A B - C$ 的平面角中最大角的余弦值．

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2、某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ．

(1)、已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生 $A$ 的成绩为76分，试估计学生 $A$ 在甲市的大致名次；

(2)、在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记 $X$ 表示在本次考试中化学成绩在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的人数，求 $P (X \geq 1)$ 的概率及 $X$ 的数学期望．
参考数据： ${0.9974}^{40} \approx 0.9011$
参考公式：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，有 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $\begin{array}{r} P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544, P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974. \end{array}$

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3、已知函数 $f (x) = {log}_{6} (2^{x} + 3^{x}), g (x) = {log}_{3} (6^{x} - 2^{x})$ ．给出下列四个结论：
① $f (\frac{1}{2}) < g (\frac{1}{2})$ ；
②存在 $x_{0} \in (0, 1)$ ，使得 $f (x_{0}) = g (x_{0}) = x_{0}$ ；
③对于任意的 $x \in (1, + \infty)$ ，都有 $f (x) < g (x)$ ；
④对于任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，都有 $|x - f (x)| \leq |g (x) - x|$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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4、平面四边形 $A B C D$ 中， $B C = C D = 2, \frac{A B}{B D} = \frac{3}{4}, ∠ A B D = 90^{\circ}$ ，则 $A C$ 的最大值为．

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5、已知函数 $f (x) = 3 x - sin x$ ，若 $f (a) + f (a^{2} - 2) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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6、一个几何体的三视图的正视图是三角形，则这个几何体可以是.（写出一个你认为正确的答案即可）

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7、已知 $P$ 是抛物线 $C : x^{2} = 4 y + 20$ 上任意一点，若过点 $P$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别记为 $A$ ， $B$ ，则劣弧 $A B$ 长度的最小值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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8、在所有棱长均相等的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，点 $P$ 在四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 内（含边界）运动．当 $C_{1} P = \frac{\sqrt{7}}{2} C C_{1}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{2 π}{3}$ ，则该四棱柱的表面积为（）

A、 $16 + 4 \sqrt{3}$ B、 $8 + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 + \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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9、已知点 $P$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的动点，若 $P$ 到 $x$ 轴与 $y$ 轴的距离之和的范围是 $[3, 5]$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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10、已知向量 ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 是平面 $α$ 内的一组基向量， $O$ 为 $α$ 内的定点，对于 $α$ 内任意一点 $P$ ，当 $\vec{O P} = x {\vec{e}}_{1} + y {\vec{e}}_{2}$ 时，称有序实数对 $(x, y)$ 为点 $P$ 的广义坐标．若点 $A, B$ 的广义坐标分别为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ ，则“ $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ "是“ $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（）

A、 $\frac{144}{625}$ B、 $\frac{64}{125}$ C、 $\frac{9}{64}$ D、 $\frac{3}{64}$

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12、筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4 $m$ 的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为 $2m$ .在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于 $4 m$ 的时间为（）

A、9秒 B、12秒 C、15秒 D、20秒

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (1, 2)$ ，则 $sin 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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14、如图，已知集合 $A = \{x ∣ {log}_{2} x < 1\}, B = {x ∣ x < 1}$ ，则阴影部分表示的集合为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $[1, 2)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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15、命题“ $\forall x > 1$ ， $ln x < x$ ”的否定形式是（）

A、 $\exists x_{0} \leq 1$ ， $ln x_{0} \geq x_{0}$ B、 $\forall x \leq 1$ ， $ln x < x$ C、 $\exists x_{0} > 1$ ， $ln x_{0} \geq x_{0}$ D、 $\forall x > 1$ ， $ln x \geq x$

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16、已知复数 $z = \frac{i}{1 + i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z| =$

A、 $1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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17、如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点外别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，设P是第一象限内 $Γ$ 上的一点， $P F_{1}$ 、 $P F_{2}$ 的延长线分别交 $Γ$ 于点 $Q_{1}$ 、 $Q_{2}$ ．
（1）求 $△ P F_{1} Q_{2}$ 的周长；
（2）求 $△ P F_{1} Q_{2}$ 面积的取值范围；
（3）设 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ 分别为 $△ P F_{1} Q_{2}$ 、 $△ P F_{2} Q_{1}$ 的内切圆半径，求 $r_{1} - r_{2}$ 的最大值．

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18、在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{7}$ 的展开式中，下列结论正确的是（）

A、展开式的二项式系数和是128 B、只有第4项的二项式系数最大 C、 $x^{2}$ 的系数是 $- 7$ D、展开式中的有理项共有3项

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19、设 $A$ ， $B$ 是非空实数集，如果对于集合 $A$ 中的任意两个实数 $x$ ， $y$ ，按照某种确定的关系 $f$ ，在 $B$ 中都有唯一确定的数 $z$ 和它对应，那么就称 $f : A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个二元函数，记作 $z = f (x, y)$ ， $x$ ， $y \in A$ ，其中 $A$ 称为二元函数 $f$ 的定义域.

(1)、已知 $f (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ，若 $f (x_{1}, y_{1}) = 1$ ， $f (x_{2}, y_{2}) = 2$ ， $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 2$ ，求 $f (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$ ；

(2)、设二元函数 $f$ 的定义域为 $I$ ，如果存在实数 $M$ 满足：
① $\forall x$ ， $y \in I$ ，都有 $f (x, y) \geq M$ ，
② $\exists x_{0}$ ， $y_{0} \in I$ ，使得 $f (x_{0}, y_{0}) = M$ .
那么，我们称 $M$ 是二元函数 $f (x, y)$ 的下确界.
若 $x$ ， $y \in (0, + \infty)$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，判断函数 $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 8 x y$ 是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由.

(3)、 $f (x, y)$ 的定义域为 $R$ ，若 $\exists h > 0$ ，对于 $\forall x$ ， $y \in D \subseteq R$ ，都有 $f (x, y) \leq f (x + h, y + h)$ ，则称 $f$ 在 $D$ 上是关于 $h$ 单调递增.已知 $f (x, y) = k x - \frac{a y}{y^{2} + 4}$ 在 $[1, 2]$ 上是关于 $a$ 单调递增，求实数 $k$ 的取值范围.

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20、已知幂函数 $y = f (x)$ 经过点 $（ 2, 4 ）$ .

(1)、求 $f (\frac{1}{2})$ 的值；

(2)、记 $g (x) = f (x) - x$ ，若 $g (x)$ 在 $[- 1, a]$ 上是不单调的，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、记 $h (x) = f (x) + x + b$ ，若 $h (x)$ 与 $h (h (x))$ 值域相同，求实数 $b$ 的最大值.

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