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相关试卷

1、为绘制海底地貌图，测量海底两点 $C$ ， $D$ 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得 $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ D A C = 45 °$ ， $∠ A B D = 45 °$ ， $∠ D B C = 75 °$ ，同时测得 $A B = \sqrt{3}$ 海里.

(1)、求 $A D$ 的长度；

(2)、求 $C$ ， $D$ 之间的距离.

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2、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ．

(1)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{b} + k \vec{a}$ 与 $\vec{b} - k \vec{a}$ 相互垂直，求实数k的值．

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3、已知 $cos θ = - \frac{3}{5}, π < θ < \frac{3 π}{2}$ ，则 ${sin}^{2} \frac{θ}{2} + sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} =$ .

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4、已知 $A (- 1, 2), B (2, 0), C (x, 3)$ ，且 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，则 $x =$ .

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5、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有两个不同的零点，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有两条对称轴 B、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{4}{3}, \frac{7}{3})$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、若 $f (0) = f (π)$ ，则 $ω = \frac{5}{3}$

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6、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，给出下列判断，其中正确的是（）．

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ D、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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7、对于 $△ A B C$ ，下列说法正确的有（）

A、存在 $△ A B C$ ，满足 $a = 8, b = 9, c = 10, B = 60^{\circ}$ . B、若 $A ＞ B$ ，则 $sin A > sin B$ C、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 D、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形

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8、如图，在重 $100 N$ 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（）

A、 $50 \sqrt{3} N$ ， $50 \sqrt{3} N$ B、 $50 N$ ， $100 N$ C、 $50 \sqrt{3} N$ ， $50 N$ D、 $100 N$ ， $50 \sqrt{3} N$

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9、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[- π, - \frac{5 π}{6}]$ 上单调递减 C、函数 $y = f (x + \frac{π}{6})$ 是奇函数 D、该函数的图象可由 $y = 2 \cos x$ 的图象向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到

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10、如图，向量 $\vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $- 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ B、 $- 4 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ D、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 4)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、8

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12、若复数 $z = 2 - b i (b \in R)$ 的实部与虚部互为相反数，则 $|z|$ 的值为（）

A、0 B、2 C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

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13、 $\sin 15^{\circ} \cos 45^{\circ} + \cos 15^{\circ} \sin 135^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、开启某款保险柜需输入四位密码 $\bar{a_{1} a_{2} a_{3} x_{s}}$ ，其中 $\bar{a_{1} a_{2} a_{3}}$ 为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是 $0 \sim 9$ 中的一个整数）， $x_{s}$ 是根据开启时收到的动态校验钥匙 $s$ （ $s$ 为1~5中的一个随机整数）计算得到的动态校验码. $x_{s}$ 的具体计算方式： $x_{s}$ 是 $M = a_{1} \cdot s^{3} + a_{2} \cdot s^{2} + a_{3} \cdot s$ 的个位数字.例如：若静态密码为 $\bar{301}$ ，动态校验钥匙 $s = 2$ ，则 $M = 3 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2 = 26$ ，从而动态校验码 $x_{2} = 6$ ，进而得到四位开柜密码为 $\bar{3016}$ .

(1)、若用户最终得到的四位开柜密码为 $\bar{2024}$ ，求所有可能的动态校验钥匙 $s$ ；

(2)、若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙 $s = 5$ ，求动态校验码 $x_{s}$ 的概率分布列；

(3)、若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙 $s = i (1 \leq i \leq 5, i \in N)$ 的概率为 $p_{i}$ ，其中 $p_{i}$ 是互不相等的正数.记得到的动态校验码 $x_{s} = k (0 \leq k \leq 9, k \in N)$ 的概率为 $Q_{k}$ ，试比较 $Q_{0}$ 与 $Q_{1}$ 的大小.

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{1 + 2 a x^{2}} - a x sin x$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $a = - \frac{1}{2}$ ，求证： $f (x) \leq 1$ ；

(3)、若存在 $x_{0} \in (0, π)$ ，使得对任意 $x \in (0, x_{0})$ ，均有 $f (x) < 1$ ，求正实数 $a$ 的取值范围.

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16、已知 $(3, \frac{5}{2})$ 是双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一点， $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $A (1, 1)$ ，且与 $E$ 的两支分别交于 $P$ ， $Q$ 两点.若 $\frac{|A P| \cdot |A Q|}{|P Q|} = \frac{19 \sqrt{10}}{20}$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且满足 $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、若 $a_{1} = 1$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{5}{b_{2}} - \frac{1}{b_{1}} = \frac{3}{4}$ ，且数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = (3 n - 4) \cdot 2^{n + 1} + 8$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

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18、在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面 $P A C$ 是边长为2的等边三角形， $A B = \sqrt{3}$ ， $P B = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的余弦值.

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19、一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为.

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20、已知曲线 $C$ ： ${(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3} - 7 \sin^{2} x + 7 \cos^{2} y = 6$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 过原点 $O$ B、曲线 $C$ 关于 $y = x$ 对称 C、曲线 $C$ 上存在一点 $P$ ，使得 $|O P| = 1$ D、若 $P (x, y)$ 为曲线 $C$ 上一点，则 $|x| + |y| < 3$

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