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相关试卷

1、函数 $f (x) = e^{x} - a ln x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象过定点 B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、当 $a = 1$ 时， $f (x) > 2$ 恒成立 D、存在 $a > 0$ ，使得 $f (x)$ 与 $x$ 轴相切

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 都是正项等比数列，则（）

A、数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 是等比数列 D、数列 $\{a_{n}^{b_{n}}\}$ 是等比数列

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3、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sin (2 π x - 2 π a), & x < a, \\ |x - a - 1| - 3 a + 6, & x \geq a . \end{array}$ 若 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内恰有6个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, \frac{7}{2}]$ B、 $(2, 3]$ C、 $(2, \frac{7}{3}] \cup (\frac{5}{2}, \frac{7}{2}]$ D、 $(2, \frac{7}{3}] \cup (\frac{5}{2}, 3]$

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4、已知椭圆 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过上顶点 $A$ 作直线 $A F_{2}$ 交椭圆于另一点 $B$ .若 $|A B| = |F_{1} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5、圆台的高为2，体积为 $14 π$ ，两底面圆的半径比为 $1 : 2$ ，则母线和轴的夹角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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6、研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组： $[2, 4)$ ， $[4, 6)$ ， $[6, 8)$ ， $[8, 10)$ ， $[10, 12)$ ，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（）

A、7 B、7.5 C、7.8 D、8

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7、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - 3 \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{13}$

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8、复数 $z$ 满足 $z = \frac{5}{i - 2}$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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9、已知集合 $\{0, m^{3}\} \subseteq \{0, m, 1\}$ ，则实数 $m$ 的取值集合为.

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10、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若 $D E = F G = 8$ ， $E G = 30$ ， $E H = 16$ ， $G C = 26$ ，则海岛的高为（）

A、16 B、24 C、32 D、40

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, (x < 1) \\ \frac{a}{x}, (x \geq 1) \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{7}, 1)$ B、 $[0, \frac{1}{3})$ C、 $[\frac{1}{6}, 1)$ D、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{3})$

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12、线段 $M N$ 的长为3，端点 $M, N$ 分别在 $y$ 轴和 $x$ 轴上运动，点 $E$ 满足 $\vec{M E} = 2 \vec{E N}$ ，记点 $E$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、曲线 $C$ 与 $x$ 轴的左右两个交点分别为 $A, B, P$ 为 $C$ 上异于 $A, B$ 的动点.过点 $D (1, 0)$ 分别作直线 $l_{1} ∥ A P$ ，直线 $l_{2} ∥ B P$ ，其中 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于 $G, H$ 两点， $l_{2}$ 交直线 $x = - 1$ 于点 $R$ ，点 $I$ 满足 $|D G| \vec{I H} = |D H| \vec{I G}$ .
①求点 $I$ 的轨迹方程；
② $△ I D R$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

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13、数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列 $a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} (n \in N^{*})$ 的性质，对通项公式取对数得， $ln a_{n} = ln {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ，则可通过研究函数 $y = ln {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ 的性质，得到数列 $\{ln a_{n}\}$ 的性质，进而得到 $\{a_{n}\}$ 的性质.请根据以上材料，解决如下问题：

(1)、若不等式 $c x \geq ln (1 + x)$ 对任意 $x \geq 0$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围，并证明： $e > {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ；

(2)、是否存在常数 $a$ ，使得： $\forall n \in N^{*}$ 有， $1 - a^{- \frac{1}{n}} < \frac{2}{n} < a^{\frac{1}{n}} - 1$ ？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.
（注：e为自然对数的底数）

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ D C$ ， $B C = C D = A D = 2$ ， $A B = 4$ .

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积为 $25 π$ ，求二面角 $C - A B - P$ 的余弦值.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $A D$ 为边 $B C$ 上的中线.

(1)、证明： $A D = \frac{1}{2} \sqrt{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}$ ；

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ ，求 $A D$ 的最大值.

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 n x + b_{n} = 0$ 的两个根.

(1)、求 $a_{1}$ ；

(2)、求数列 $\{{(- 1)}^{n} \cdot \frac{4 n}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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17、有三个袋子，每个袋子都装有 $n$ 个球，球上分别标有数字 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ .现从每个袋子里任摸一个球，用 $X, Y, Z$ 分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“ $X + Y = Z$ ”的概率为.

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18、在 $△ A B C$ 中，已知 $C = \frac{2 π}{3}$ ， $tan A \cdot tan B = 2 - \sqrt{3}$ ，则 $cos (A - B) =$ .

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19、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线右支上，若 $|P F_{1}| = 4$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ .

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20、设曲线 $C_{1} : y = e^{x}$ ，抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，记抛物线的焦点为 $F$ ， $M$ ， $Q$ 为分别为曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点， $l$ 为曲线 $C_{1}$ 的切线，则（）

A、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 无公共点，则 $p \in (0, e)$ B、若 $l$ 过点 $F$ ，则 $l$ 被 $C_{2}$ 截得的弦长为 $p + \frac{2}{e^{p + 2}}$ C、当 $p = 1$ 时， $|F M| \geq \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、当 $p = 1$ 时， $|M Q| > \frac{\sqrt{2}}{4}$

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