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相关试卷

1、“ $\sin θ \cdot \cos θ > 0$ ”是“ $θ$ 为第一象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、已知直线 $2 x + 3 y - 6 = 0$ 经过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点 $A$ 和上顶点 $B$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程及离心率；

(2)、与直线 $A B$ 平行的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点（ $M, N$ 均不与 $C$ 的顶点重合），设直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ A B$ ， $C D ∥ A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = P D$ ， $A D = C D = 2$ ， $A B = 4$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ .

(2)、若平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，求点 $C$ 到平面 $P A B$ 的距离.

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4、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌、27枚银牌、24枚铜牌，共91枚奖牌，创造了境外参加奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识测试，根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示.

(1)、求测试成绩的中位数（结果精确到小数点后一位）；

(2)、采用分层随机抽样的方法从成绩在 $[40, 60)$ 内的学生中抽取5人，再从抽取的这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的成绩在 $[50, 60)$ 内的概率.

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5、已知 $y = f (x + 1)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 4) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [- 1, 1)$ 时， $f (x) = 2^{x} - x^{2}$ ，则 $f (1) =$ ， $f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) =$ .

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6、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 9$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 1}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2024} =$ .

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7、已知球 $O$ 的表面积为 $144 π$ ，正四棱锥的顶点为 $O$ ，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，底面边长为4，则该正四棱锥的高为.

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8、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y + 9 = 0$ 与直线 $l : 3 x + 4 y - 3 = 0$ ，点 $P$ 在圆 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $l$ 上，则（）

A、圆 $C$ 上有两个点到直线 $l$ 的距离为2 B、圆 $C$ 上只有一个点到直线 $l$ 的距离为2 C、 ${|P Q|}_{\min} = 2$ D、从点 $Q$ 向圆 $C$ 引切线，切线长的最小值是 $2 \sqrt{5}$

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9、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} + n^{2} - 4 n + 2$ ，且 $a_{r}$ ， $a_{s}$ 的等差中项为11（ $r, s \in N^{*}$ ），则 $r + s =$ （）

A、4 B、8 C、10 D、12

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10、冈珀茨模型（ $y = k \cdot a^{b t}$ ）由冈珀茨提出，作为动物种群生长模型，可用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种 $t$ 年后的种群数量 $y$ 近似满足冈珀茨模型 $y = k_{0} \cdot e^{1.4 e - 0.125 t}$ ，（ $k_{0} > 0$ ，当 $t = 0$ 时表示2024年初的种群数量），经过 $n (n \in N)$ 年后，当该物种的种群数量不足2024年初种群数量的10%时即将有濒临灭绝的危险，则 $n$ 的最小值为（ $\ln 10 \approx 2.3$ ）（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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11、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{5}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{70}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12、下列函数中，最小正周期为 $π$ 且奇偶性与函数 $f (x) = x^{5}$ 相同的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = - \sin 2 x$ C、 $y = \cos 2 x$ D、 $y = \sin | x |$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 5$ ， $b = 4$ ， $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{13 \sqrt{6}}{4}$ C、 $5 \sqrt{7}$ D、 $6 \sqrt{6}$

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14、在复平面内，复数 $(1 - 2 i) (3 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、设集合 $A = \{x| - 2 < x \leq 1\}$ ， $B = \{x| - 1 \leq x < 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x| - 1 \leq x \leq 1\}$ B、 $\{x| - 1 < x < 1\}$ C、 $\{x| - 2 < x < 2\}$ D、 $\{x| - 2 \leq x \leq 2\}$

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16、若对于实数 $m, n$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x + m) + f (x - m) = n f (x)$ 在函数 $y = f (x)$ 的定义域 $D$ 上有实数解 $x = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的“ $(m, n)$ 可消点”，若存在实数 $m, n$ ，对任意实数 $x \in D, x$ 均为函数 $f (x)$ 的“ $(m, n)$ 可消点”，则称函数 $f (x)$ 为“可消函数”，此时，有序数对 $(m, n)$ 称为函数 $f (x)$ 的“可消数对”．

(1)、若 $f (x) = x + 2$ 是“可消函数”，求函数 $f (x)$ 的“可消数对”；

(2)、若 $(m, 1)$ 为函数 $f (x) = sin x cos x$ 的“可消数对”，求 $m$ 的值；

(3)、若函数 $f (x) = {sin}^{2} x$ 的定义域为 $R$ ，存在实数 $x_{0} \in (0, \frac{π}{4}]$ 同时为 $f (x)$ 的“ $(\frac{π}{2}, n_{1})$ 可消点”与“ $(\frac{π}{3}, n_{2})$ 可消点”，求 $n_{1}^{2} + n_{2}^{2}$ 的最小值．

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17、意大利画家列奥纳多•达•芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数 $cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数 $sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ （ $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \dots$ ）．

(1)、计算 $cosh (2) - 2 {cosh}^{2} (1)$ 的值；

(2)、类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式 $cosh (x - y) =$ ______，并加以证明；

(3)、判断函数 $f (x) = 2 cosh (2 x) - 4 b cosh (x) + 4 b - 2$ 的零点个数，并求出零点．

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18、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) cos x + \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的值域；

(3)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $a g (x - \frac{π}{3}) - g (x + \frac{π}{6}) \geq 2$ 对任意的 $x \in [\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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19、中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与水的温度有关，如果刚泡好的茶水温度是 $θ_{1} ℃$ ，环境温度是 $θ_{0} ℃$ ，那么 $t$ 分钟后茶水的温度 $θ$ （单位： $℃$ ）可由公式 $θ (t) = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中 $k$ 是常数，现有刚泡好的茶水温度是 $100 ℃$ ，放在室温25℃的环境中自然冷却，5分钟以后茶水的温度是50℃．

(1)、求 $k$ 的值（计算结果精确到0.01）；

(2)、经验表明，当室温是 $15 ℃$ 时，刚泡好的茶水温度是 $95 ℃$ ，自然冷却至 $60 ℃$ 时引用口感最佳，刚刚泡好的茶水大约要放置几分钟才能达到最佳饮用口感？（计算结果精确到0.1）参考数据： $ln 2 \approx 0.693, ln 3 \approx 1.099$

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20、设 $y = m (m > 0)$ 与 $f (x) = 4 sin (2 x + φ)$ 图象的相邻3个公共点自左向右依次为 $A, B, C$ ，若 $5 |A B| = 7 |B C|$ ，则 $m$ 的值为．

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