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相关试卷

1、如图：在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点， $B_{1} C_{1}$ 与平面 $C D E$ 交于点 $F$ ．
（1）求证： $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点；
（2）点 $M$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，且二面角 $M - F C - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $\frac{A_{1} M}{A_{1} B_{1}}$ 的值．

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2、在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标 $x$ 和 $y$ ，制成下图，其中“ $*$ ”表示甲村贫困户，“ $+$ ”表示乙村贫困户.若 $0 < x < 0.6$ ，则认定该户为“绝对贫困户”，若 $0.6 \leq x \leq 0.8$ ，则认定该户为“相对贫困户”，若 $0.8 < x \leq 1$ ，则认定该户为“低收入户”；若 $y \geq 100$ ，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.
（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；
（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用 $ξ$ 表示所选3户中乙村的户数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ ；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标 $y$ 的方差的大小（只需写出结论）.

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3、斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ， $n \in N^{*}$ ）.给出下列四个结论：
①存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{m}$ ， $a_{m + 1}$ ， $a_{m + 2}$ 成等差数列；
②存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{m}$ ， $a_{m + 1}$ ， $a_{m + 2}$ 成等比数列；
③存在常数t，使得对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n}$ ， $t a_{n + 2}$ ， $a_{n + 4}$ 成等差数列；
④不存在正整数 $i_{1}$ ， $i_{2}$ ， …， $i_{m}$ ，且 $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{m}$ ，使得 $a_{i_{1}} + a_{i_{2}} + \dots + a_{i_{m}} = 2023$ .
其中所有正确结论的序号是.

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4、若 ${(2 - x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{0} + a_{3} =$ .

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5、如图所示， $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若 $| A B | : |B F_{2}| : |A F_{2}| = 3 : 4 : 5$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{3}$

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6、在平面直角坐标系中，已知点 $A (2, 0)$ ， $B (0, 2)$ ，圆 $C ：$ ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使得 ${|M A|}^{2} + {|M B|}^{2} = 12$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1 - \sqrt{2}, 1 + 2 \sqrt{2}]$ B、 $[1 - 2 \sqrt{2}, 1 + 2 \sqrt{2}]$ C、 $[1, 1 + 2 \sqrt{2}]$ D、 $[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}]$

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7、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为q且 $q \neq 1$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} ... a_{n} (n = 1, 2, 3, ...)$ 、则“ $a_{1} > 0$ 且 $q > 1$ ”是“ $\{T_{n}\}$ 为递增数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 和双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - y^{2} = 1 (m > 0)$ 的离心率之积为1，则双曲线 $C_{2}$ 的两条渐近线的倾斜角分别为（）

A、 $\frac{π}{6}$ ， $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ ， $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ ， $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ ， $\frac{2 π}{3}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则 $a_{2017} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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10、 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 是两个等差数列，其中 $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ （ $1 \leq k \leq 5$ ）为一固定常数值， $a_{1} = 288$ ， $a_{5} = 96$ ， $b_{1} = 192$ ，则 $b_{3} =$ （）

A、32 B、48 C、64 D、128

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11、已知函数 $f (x) = 3 \cos (ω x + φ) + 2 (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，其图象与直线 $y = 5$ 相邻两个交点的距离为 $\frac{π}{2}$ ，若 $\forall x \in [- \frac{π}{12}, \frac{π}{16}]$ ， $f (x) \geq 2$ 恒成立，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ B、 $[- \frac{π}{4}, - \frac{π}{6}]$ C、 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ D、 $[0, \frac{π}{4}]$

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12、已知 $x \in [0, \frac{π}{4}], sin x + cos x = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan (x - \frac{3 π}{4}) =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、 $- \sqrt{5}$ D、2

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13、随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵的有效措施.某市城市规划部门为了提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度 $v$ （单位：千米/小时）和车流密度 $x$ （单位：辆/千米）所满足的关系式： $v = \{\begin{array}{l} 50, 0 < x \leq 30 \\ 60 - \frac{1200}{125 - x}, 30 < x \leq 105 \end{array}$ ，研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时的车流速度是0千米/小时.

(1)、若车流速度 $v$ 不小于20千米/小时，求车流密度 $x$ 的取值范围；

(2)、隧道内的车流量 $y$ （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足 $y = x \cdot v$ ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、若 $S_{n} \leq 2 a_{n} - 4 n - λ$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立．求实数 $λ$ 的取值范围．

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15、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $a = \sqrt{41}$ ， $2 b \sin \frac{B + C}{2} = \sqrt{5} a \sin B$ ．
（1）求 $\sin A$ ；
（2）如图，M为边AC上一点，且 $M C = 2 M B$ ， $∠ A B M = \frac{π}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)、求该样本的第75百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在 $[40, 50), [50, 60)$ 各一人的概率．

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17、如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为.

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18、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的方差为6，则数据 $2 x_{1} - 3$ ， $2 x_{2} - 3$ ， $2 x_{3} - 3$ ， $2 x_{4} - 3$ ， $2 x_{5} - 3$ 的方差为；

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，且 $\frac{f (x + y)}{x + y} = \frac{f (x) f (y)}{x y}$ ，且 $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (2) = 8$ B、 $f (3) + f (4) + f (5) = 168$ C、 $\frac{f (10)}{f (8)} = 5$ D、 $f (2024) = 2024 \times 2^{2024}$

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20、下列结论正确的是（）

A、 $l_{1} : x + (2 a - 1) y + 2 a - 3 = 0$ ， $l_{2} : a x + 3 y + a^{2} + 4 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = - 1$ 或 $a = \frac{3}{2}$ B、 $\vec{a} = (1, - 1)$ 是直线 $x + y - 3 = 0$ 的一个方向向量 C、直线 $x + y - 1 = 0$ 与直线 $2 x + 2 y + 1 = 0$ 之间的距离是 $\sqrt{2}$ D、与点 $A (- 1, 2)$ 的距离为1，且与点 $B (3, - 1)$ 的距离为4的直线共有3条

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