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相关试卷

1、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B C ∥ A D, B C = 1, A D = 3, △ A B C$ 为等边三角形， $E$ 是边 $C D$ 上靠近 $C$ 的三等分点.设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A C}, \vec{A E}$ ；

(2)、求 $∠ B A E$ 的余弦值.

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2、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ，若 $|\overset{⃑}{a}| = 2 |\overset{⃑}{b}| = 2$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = - 1$

(1)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角θ；

(2)、求 $|2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ；

(3)、当λ为何值时，向量 $λ \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 与向量 $\overset{⃑}{a} - 3 \overset{⃑}{b}$ 互相垂直？

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3、函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos ω x (ω > 0)$ 在 $x \in [0, π]$ 上恰有 $2$ 个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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4、如图，在矩形ABCD中，AB＝ $\sqrt{2}$ ， BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A F}$ ＝ $\sqrt{2}$ ，则 $\overset{⃑}{A E} \cdot \overset{⃑}{B F}$ 的值是．

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5、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A^'B^'C^'D^' ，则原四边形ABCD的面积是．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $A ＞ B$ ，则 $sin A ＞ sin B$ B、若 $\frac{a}{cos B} = \frac{b}{cos A}$ ，则 $△ A B C$ 为一定是等腰三角形 C、 $\frac{a}{sin A} = \frac{b + c}{sin B + sin C}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A ＞ cos B$

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7、已知下列四个命题为真命题的是（）

A、已知非零向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ ，若 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{b} // \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{c}$ B、若四边形 $A B C D$ 中有 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{D C}$ ，则四边形 $A B C D$ 为平行四边形 C、已知 $\overset{⃑}{e_{1}} = (1, - 2)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (- 2, 4)$ ， $\overset{⃑}{e_{1}}$ ， $\overset{⃑}{e_{2}}$ 可以作为平面向量的一组基底 D、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 1, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (3, 1)$ ，则 $\overset{⃑}{b}$ 在 $\overset{⃑}{a}$ 方向上的投影向量的模为 $\sqrt{2}$

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8、如图，所有棱长都等于 $2 \sqrt{3}$ 的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有顶点都在球 $O$ 上，球 $O$ 的体积为（）

A、 $27 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{28 \sqrt{21} π}{3}$ C、 $28 \sqrt{7} π$ D、 $\frac{28 \sqrt{7}}{3} π$

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9、把函数 $y = \sin (2 x + \frac{4 π}{3})$ 的图像向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，所得图像关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10、已知 $α$ 、 $β$ 为锐角，且 $\sin β = \frac{3}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{63}{65}$ B、 $\frac{33}{65}$ C、 $- \frac{48}{65}$ D、 $\frac{48}{65}$

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11、把一个铁制的底面半径为 $4$ ，侧面积为 $\frac{16}{3} π$ 的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{6}$

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12、设集合 $A = \{2, 4, 6\}$ ， $B = \{1, 3, 6\}$ ，则如图中阴影部分表示的集合是.

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13、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - a x - ln x (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x)$ 有唯一极值点；

(3)、若 $f (x)$ 有唯一零点 $x_{0}$ ，求证： $1 < x_{0} < 2$ .

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14、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为公比大于0的等比数列， $a_{1} = 1, b_{1} = 1, b_{2} + b_{3} = 6$ ， $a_{2} + 2 a_{4} = b_{5} + 1$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n + 1} = c_{n} + 2^{n}, c_{1} = 3$ ，对任意的 $m \in N^{*}$ ，将数列 $\{a_{n}\}$ 中落入区间 $[b_{m}, c_{m}]$ 内的项的个数记为 $d_{m}$ .
（i）求 $\{c_{n}\}$ 的通项公式及 $d_{1}$ 和 $d_{10}$ 的值；
（ii）记数列 $\{a_{m} d_{m}\}$ 的前 $m$ 项和为 $T_{m}$ ，请问是否存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $9 (T_{m} + 2) = 5 m \cdot 3^{m - 1}$ ，若存在，求出所有 $m$ 的值，若不存在，请说明理由.

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15、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、设直线 $l$ 与椭圆相交于 $P, Q$ 两点， $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求直线 $O P, O Q$ 的斜率之积的值.

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16、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ A B, A B = 1, P A = A C = 2$ ，点 $D$ 在棱 $A C$ 上，且 $A C = 3 A D, M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $P C ⊥$ 平面 $A B M$ ；

(2)、求平面 $A B M$ 与平面 $D B M$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $A P$ 上是否存在点 $H$ 满足直线 $B H$ 与平面 $A B M$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ？若存在，求出 $A H$ 的值，若不存在，请说明理由.

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $3 a = 2 b$ ， $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \sqrt{2} a c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $sin A$ 的值；

(3)、求 $cos (2 A - B)$ 的值.

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18、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x |x + 2 a|, & x < - 1, \\ a^{x + 1} - \frac{1}{2}, & x \geq - 1. \end{array}$ 在 $R$ 上是单调函数，若函数 $g (x) = f (x) + x + \frac{1}{3}$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60^{\circ}, \vec{A D} = 2 \vec{D B}, P$ 为 $C D$ 上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ ，则实数 $m$ 的值为；若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{A P}|$ 的最小值为.

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20、袋子中有大小相同的3个红球和2个白球.若从袋子中摸出3个球，则恰有一个白球的概率是；若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记“第一次摸到红球”为事件 $A$ ， “第二次摸到红球”为事件 $B$ ，则 $P (B ∣ A) =$ .

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