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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l : a x + b y = 1$ 上有且仅有一点 $P$ ，使 $|O P| = 2$ ，则直线 $l$ 被圆 $C : x^{2} + y^{2} = 16$ 截得的弦长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $4 \sqrt{3}$

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2、若 $z_{1} = 2 + i, z_{2} = 3 - i$ ，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、 $7 - i$ B、 $7 + i$ C、 $5 - i$ D、 $5 + i$

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3、若集合 $A = \{y ∣ y = x - 1, x \in N\}, B = \{z ∣ z = x + \sqrt{2} y, x, y \in N\}$ ，则（）

A、 $A \subseteq N$ B、 $A \cap B = N$ C、 $B \subseteq N$ D、 $A \cup B = N$

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4、如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（）

A、众数 $=$ 平均数 $=$ 中位数 B、众数 $<$ 中位数 $<$ 平均数 C、众数 $<$ 平均数 $<$ 中位数 D、中位数 $<$ 平均数 $<$ 众数

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5、已知 $sin α + cos β = \frac{\sqrt{2}}{2}, cos α - sin β = - \frac{1}{2}$ ，则 $cos (2 α - 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{32}$ B、 $- \frac{7}{32}$ C、 $\frac{5 \sqrt{39}}{32}$ D、 $- \frac{5 \sqrt{39}}{32}$

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6、我们把公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 称为“一阶等差数列”，若数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是“一阶等差数列”，则称数列 $\{a_{n}\}$ 是“二阶等差数列”.定义：若数列 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是“ $k$ 阶等差数列”，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k + 1$ 阶等差数列”.例如： $1, 3, 7, 13, 21, 31 \dots$ ，后项与前项的差值： $2, 4, 6, 8, 10, \dots$ ，这些差值构成的数列是公差为2的等差数列，则称数列 $1, 3, 7, 13, 21, 31 \dots$ 为“二阶等差数列”.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2}$ ，试判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否为“二阶等差数列”，并说明理由；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“二阶等差数列”，且 $a_{1} = 1$ ，对应的“一阶等差数列”首项为1，公差为3，求 $a_{n}$ ；

(3)、若“三阶等差数列” $\{a_{n}\}$ 的前4项依次为 $1, 4, 10, 20$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ .

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7、已知函数 $f (x) = 4 - 2 x - \frac{1}{e^{x}}, g (x) = (a^{2} - a) x + \frac{1}{x} - ln x$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 1$ 时，令函数 $h (x) = f (x) - x g (x)$ ，证明： $h (x) > 0$ .

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8、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(a + c) sin A - b sin B = (a + b + c) sin C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 14$ ， $E$ 是边 $B C$ 的中点，且 $A E ⊥ A B$ ，求 $A E$ .

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9、祖暅在数学上做出了突出贡献，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”，用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.由曲线 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{6} = 1, y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x, y = \pm 3$ 共同围成的图形绕 $y$ 轴旋转一周所得几何体的体积为 $V$ ，则 $V =$ .

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10、有甲､乙两个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为 $2 %$ ，乙厂生产的次品率为 $3 %$ ，生产出来的产品混放在一起.已知甲､乙两个工厂生产的产品数分别占总数的 $40 %, 60 %$ ，从中任取一件产品，则取得的产品为次品的概率为.

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11、已知 $A, B$ 两点的坐标分别为 $(- 1, 0), (1, 0)$ ，直线 $A M, B M$ 相交于点 $M (x, y)$ ，且直线 $A M$ 的斜率与直线 $B M$ 的斜率之和是2，则下列说法正确的有（）

A、点 $M$ 的轨迹关于 $y$ 轴对称 B、点 $M$ 的轨迹关于原点对称 C、若 $x > 0$ 且 $x \neq 1$ ，则 $y < x$ 恒成立 D、若 $x > 0$ 且 $x \neq 1$ ，则 $y > ln x$ 恒成立

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12、下列说法正确的有（）

A、 ${(1 + 2 x)}^{7}$ 的展开式的第4项的系数是280 B、对于随机变量 $X$ ，若 $E (X) = 2$ ，则 $E (2 X - 2) = 2$ C、已知随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X > 0) = 0.6$ ，则 $P (0 < X < 2) = 0.4$ D、一组数据 $8, 9, 9, 11, 13, 14, 15, 18, 20, 21$ 的第60百分位数为14.5

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13、已知 $O$ 为坐标原点， $A (- 2, 0), \vec{a} = (1, 1), \vec{O P} = \vec{O A} + t \vec{a}, |\vec{O Q}| = 1$ ，则 $|\vec{P Q}|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、2

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14、已知奇函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x) + \frac{f (x)}{x} > 0$ .若 $a = f (1)$ ， $b = - π f (- π), c = e f (e)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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15、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{m} + a_{p} = 2 a_{4} (n, m, p \in N^{*})$ ，则 $\frac{1}{m + 1} + \frac{4}{p}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、2

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16、某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（）

A、21 B、35 C、70 D、126

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17、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $m$ $∥$ $β$ B、若 $m$ $∥$ $α, n$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $n$ C、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $n, n ⊥ β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ D、若 $m \subset α, n \subset α, m$ $∥$ $β, n$ $∥$ $β$ ，则 $α$ $∥$ $β$

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18、若 $sin α + \sqrt{3} cos α = 1$ ，则 $cos (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、已知集合 $A = {x \in Z ∣ - 2 < x < 4}, B = \{x ∣ x^{2} + 2 x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 0]$ B、 $[- 2, 4)$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0\}$

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20、任意一个复数 $z$ 的代数形式都可写成复数三角形式，即 $z = a + b i = r (cos θ + isin θ)$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq 0, θ \in [0, 2 π)$ .棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为： $z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + isin θ_{1}), z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + isin θ_{2})$ ，则： $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [cos (θ_{1} + θ_{2}) + isin (θ_{1} + θ_{2})]$ .如果令 $z_{1} = z_{2} = \dots = z_{n} = z$ ，则能导出复数乘方公式： $z^{n} = r^{n} (cos n θ + isin n θ)$ .请用以上知识解决以下问题.

(1)、试将 $z = 3 - \sqrt{3} i$ 写成三角形式；

(2)、试应用复数乘方公式推导三倍角公式： $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 {sin}^{3} θ; cos 3 θ = 4 {cos}^{3} θ - 3 cos θ$ ；

(3)、计算： ${cos}^{4} θ + {cos}^{4} (θ + 120^{\circ}) + {cos}^{4} (θ - 120^{\circ})$ 的值.

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