广东省东莞市2026年高三年级四月综合测试（二模）数学试题

试卷更新日期：2026-05-04 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.

1. 复数 ${(2 - i)}^{2}$ 的实部为（）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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2. 已知集合 $A = \{0, 1, 2\}, B = \{x | \frac{x}{2} \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${2}$ C、 ${0, 2}$ D、 ${1, 2}$

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3. 等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 24$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、64 B、56 C、38 D、8

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4. 设 $α, β$ 为两个不同平面， $l$ 为一条直线，则 $α / / β$ 的充分条件可以是（）

A、 $l / / α, l / / β$ B、 $l ⊥ α, l ⊥ β$ C、 $l \subset α, l / / β$ D、 $l ⊥ α, l / / β$

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5. 已知对于任意的 $x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z$ ，都有 $\tan x = \frac{\sin 2 x}{a + \cos 2 x}$ 成立，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，则其导函数 $y = f^{'} (x)$ 图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}, O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆上一点， $| O P | = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ ，且 $|P F_{1}|, |F_{1} F_{2}|, |P F_{2}|$ 成等比数列，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 已知 $f (x) = x^{2} + (x - m) \ln x$ ，若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，则 $m =$ （）

A、0 B、1 C、e D、3

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．

9. 若 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{2}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$

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10. 某数学建模活动小组为了测量山脚下 $A, B$ 两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中 $C D$ 与水平面 $A B C$ 垂直.在已知山高 $C D$ 的情况下，在山顶 $D$ 处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定 $A, B$ 两点间距离的是（）

A、 $∠ A D C, ∠ B D C, ∠ A D B$ B、 $∠ A D C, ∠ A D B, ∠ A C B$ C、 $∠ B D C, ∠ A D B, ∠ A C B$ D、 $∠ A D C, ∠ B D C, ∠ A C B$

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11. 若直线 $y = k x + b$ 与曲线 $y = e^{x}$ 相交于不同两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，曲线 $y = e^{x}$ 在A，B点处的切线交于点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，设AP的斜率为 $k_{1}, B P$ 的斜率为 $k_{2}$ ，则（）

A、 $b = 0$ 时， $k > e$ B、 $2 x_{0} = x_{1} + x_{2}$ C、 $0 < y_{0} < e^{x_{0}}$ D、 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} > \frac{2}{k}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

12. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上.若 $| M F | = 2$ ，则 $M$ 到 $y$ 轴的距离为.

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13. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ ：.
① $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ；②任意 $x \in R$ ，都有 $f^{'} (x) \geq 0$ ；③ $f^{'} (x)$ 是偶函数.

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14. 为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡，已知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设 $X$ 为打卡完某一类所有景点需要的天数，则 $X = 3$ 的概率为， $X$ 的期望 $E (X) =$ .

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四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．

15. 为探索“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务日参与情况的常态化统计机制．下表是课程开设后前5个月的数据，其中 $x$ 表示月份编号， $y$ 表示该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）.
月份编号 $x$
1
2
3
4
5
平均参与人数 $y$ （单位：万人）
0.5
0.7
1
1.3
1.5

(1)、已知 $y$ 与 $x$ 之间线性相关，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿服务的学生人数；

(2)、假设第6个月（按30天计）的日参与人数 $Y$ （单位：万人）服从正态分布 $N (μ, {0.02}^{2})$ ，并视（1）所求第6个月的日平均参与人数的预测值为 $μ$ 的值，预测该月份日参与人数超过1.75万人的天数是否不少于25天.
附：①对于一组数据 $(u_{i}, v_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{β} u + \hat{α}$ 的斜率
$\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {(\bar{u})}^{2}}, \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .②若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (| X - μ | \leq σ) \approx 0.6827$

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16. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = A D = 1$ ， $B C = C D = \sqrt{3}, A C = 2$ .

(1)、求平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值；

(2)、已知 $E$ ， $F$ 分别为线段 $P B$ ， $P C$ 上的动点，是否存在这样的点 $E$ ， $F$ ，使得 $A$ ， $E$ ， $F$ ， $D$ 四点共面、且该平面与平面 $P B C$ 垂直？若存在，请确定点 $E$ ， $F$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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17. 设a为非负实数，函数 $f (x) = \tan x - a \sin x - 2 x, x \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) + b \geq 0$ 恒成立，求 $a + b$ 的最小值.

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18. 已知反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象 $T_{0}$ 是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线，将曲线 $T_{0}$ 绕原点顺时针旋转 $\frac{π}{4}$ ，得到曲线 $T$ ，设曲线 $T$ 的左顶点为 $A$ .

(1)、求 $A$ 的坐标及曲线 $T$ 的标准方程；

(2)、若B，C为曲线 $T$ 右支上不同两点， $D$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $E$ 为 $D$ 关于原点的对称点，证明：
（i）点 $D$ 在曲线 $T$ 上；
（ii）A，B，C，E四点共圆.

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19. 进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；…；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数 $m$ 在三进制下的表示为 $a_{n} a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0 (3)}$ ，则 $m = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot 3^{i}$ ，其中 $a_{l} \in {0, 1, 2}, a_{n} \neq 0$ ，例如十进制数 $19 = 2 \times 3^{2} + 0 \times 3^{1} + 3^{0}$ ，所以19在三进制下可写为 $201_{(3)}$ .

(1)、设正整数 $m$ 在三进制下的各位数字之和 $S (m) = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ；
（i）将满足 $S (m) = 3$ 的正整数 $m$ 从小到大排成一列，写出该列数的前四个数；
（ii）证明： $S (3 m + 2) = S (9 m + 4)$ ；

(2)、已知正整数 $m \leq 80$ ，设正项数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $4 T_{n}^{2} - b_{n}^{2} + 2 m \cdot b_{n} - m^{2} = 0$ ， $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{\infty} ([b_{i} + \frac{1}{3}] + [b_{i} + \frac{2}{3}]) = m$ （其中[x]表示不大于 $x$ 的最大整数）.

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月份编号 $x$	1	2	3	4	5
平均参与人数 $y$ （单位：万人）	0.5	0.7	1	1.3	1.5