广东湛江市第二十一中学2025-2026学年高二下学期4月阶段性考试数学试题

试卷更新日期：2026-05-14 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8道小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）

1. 已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{3} = 2$ ， $a_{7} = 32$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、8 B、12 C、16 D、17

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2. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到 $A$ ， $B$ 两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中 $A$ 中学至少需要安排1位数学老师，那么有（）种不同的安排方式

A、9 B、12 C、14 D、16

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3. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + 1$ 在 $x = - 4$ 处取得极大值，则实数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4. 有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（）

A、48种 B、12种 C、36种 D、24种

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5. 若函数 $f (x)$ 的图象在点 $M (1, f (1))$ 处的切线方程是 $y = - 2 x + 1$ ，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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6. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.若 $S_{2} = 4$ ， $S_{4} = 2$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、-6 B、-3 C、3 D、6

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7. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + m$ 在 $[0, 3]$ 上的最大值为4，则 $m$ 的值为（）

A、7 B、 $\frac{28}{3}$ C、3 D、4

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8. 已知 $a = \ln \frac{6}{7}$ ， $b = - \frac{1}{7}$ ， $c = - \sin \frac{1}{7}$ 则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，则（）

A、 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是常数列 B、 $a_{n} = n + 1$ C、 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{2026}} = \frac{4052}{2027}$ D、 $a_{n + 1} < a_{n}$ 恒成立

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10. 若 ${(2 x - 1)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{2} = - 40$ C、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} = - 121$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 122$

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11. 导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是（）

A、 $x_{4}$ 是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的极小值点 B、 $f^{'} (x_{2})$ 是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的极小值 C、 $f (x_{3})$ 是函数 $y = f (x)$ 的极大值 D、 $x_{5}$ 是函数 $y = f (x)$ 的极小值点

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三、填空题（本大题共3道小题，每小题5分，共15分）

12. 在 ${(2 - x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是．

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13. 设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n + 2} - S_{n + 1} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})$ ，则公比 $q =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 \ln x$ ，若关于x的不等式 $f (x) - m \geq 0$ 在 $[1, e]$ 上有实数解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前10项的和．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P B E$ 所成角的正弦值.

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17. 已知抛物线 $C$ 的顶点是坐标原点 $O$ ，而焦点是双曲线 $4 x^{2} - y^{2} = 1$ 的右顶点.
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l : y = x - 2$ 与抛物线相交于A、B两点.
①求弦长 $|A B|$ ；
②求证： $O A ⊥ O B$ .

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18. 已知函数 $f (x) = x e^{3 x}$ ，记 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ，且 $f_{n + 1} (x) = {f^{'}}_{n} (x)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ；

(2)、设 $f_{n} (x) = (a_{n} + b_{n} x) e^{3 x}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（ⅰ）证明数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n}}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{b_{1} - 1} + \frac{1}{b_{2} - 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n} - 1} < \frac{3}{4}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = x (1 - \ln x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a - a \ln b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ ．

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