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相关试卷

1、若数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 $a_{n + 1} - a_{n} \leq k$ （k为常数，且 $k \in N_{+}$ ），则称 $\{a_{n}\}$ 为有界变差数列，其中k为数列 $\{a_{n}\}$ 的相邻两项差值的上界．已知数列 $\{a_{n}\}$ 是有界变差数列， $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，证明： $a_{n} \leq n$ ．

(2)、当 $\{a_{n}\}$ （ $n \in N_{+}, n \geq 2$ ）中各项都取最大值时， $S_{n} + n a_{n} \leq 3 n^{3} + 11 n$ 对任意的 $n \geq 2$ 恒成立，求k的最大值；

(3)、当 $\{a_{n}\}$ （ $n \in N_{+}, n \geq 2$ ）中各项都取最大值时， $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N_{+}$ ，都有 ${(- 1)}^{n} λ (2^{n - 1} + 1) + 2^{n} < T_{n} - 4 k + 2 - (n - 2) k \cdot 2^{n + 1}$ ，求 $λ$ 的取值范围．

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2、已知 $M (0, \sqrt{2})$ 和 $N (\sqrt{3}, 1)$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $H$ 在椭圆 $C$ 上， $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两焦点，且 $∠ F_{1} H F_{2} = 60 °$ ，求 $△ F_{1} H F_{2}$ 的面积；

(3)、过点 $P (\sqrt{3}, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，证明： $\frac{1}{{|P A|}^{2}} + \frac{1}{{|P B|}^{2}}$ 为定值．

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3、已知函数 $f (x) = (a - 2) ln x + \frac{2 a}{x} + x$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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4、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A F ∥ D E$ ， $A D = D E = 2 A F$ ， $B E = \sqrt{2} A D$ ， $A F ⊥ A D$ ， $∠ B A D = 60 °$ ．

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、求平面 $B C E$ 与平面 $B E F$ 的夹角的正弦值．

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5、蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且顾客取出小球的结果相互独立．

(1)、求顾客中奖的概率；

(2)、若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．

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6、已知函数 $f (x) = {log}_{2} x$ ，且 $f (a) + a = 0, b f (b) = 2 b + 4$ ，则 $f (a) + f (b) =$ ．

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7、若圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 8$ 上恰有两个点到直线 $x + y + m = 0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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8、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a} - 3 \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的弦值是．

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9、数学中有许多形状优美的曲线，曲线 $E : y^{2} + 4 |x| = 4$ 就是其中之一､则下列结论正确的是（）

A、曲线 $E$ 关于 $x$ 轴对称 B、曲线 $E$ 上任意一点到原点 $O$ 的距离都不超过2 C、曲线 $E$ 上任意一点到原点 $O$ 的距离等于到直线 $x = 2$ 的距离 D、若 $M (x, y)$ 是曲线 $E$ 上任意一点，则 $y - 2 x$ 的最大值为 $\frac{5}{2}$

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10、已知函数 $f (x) = sin 2 x |sin x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{4 \sqrt{3}}{9}, \frac{4 \sqrt{3}}{9}]$

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11、某教育行政部门为了解某校教师“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的50位教师，这50位教师12月份的日均得分 $($ 单位：分 $)$ 统计情况如下表：
得分
$[5, 15)$
$[15, 25)$
$[25, 35)$
$[35, 45)$
频数
5
15
20
10
根据表中数据，下列结论正确的是（）

A、这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25 B、这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过 $85 %$ C、这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之间 D、这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间 $($ 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 $)$

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12、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C = 3 \sqrt{2}$ ，其他棱长都是 $2 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积是（）

A、 $\frac{20 \sqrt{5} π}{3}$ B、 $20 \sqrt{5} π$ C、 $\frac{20 π}{3}$ D、 $20 π$

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13、《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有（）

A、715种 B、572种 C、312种 D、286种

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14、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 2) + f (- x) = 0$ ，且 $f (x + 1)$ 是奇函数，若 $f (2) = 3$ ，则 $f (9) + f (10) =$ （）

A、-6 B、-3 C、3 D、6

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $\sqrt{3} a = b (\sqrt{3} cos C + sin C)$ ，且 $a + c = 4$ ，则 $b$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $2 θ$ ，且 $sin θ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{9}{8}$

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17、已知 $a, b$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，且 $a ∥ α, b ∥ β$ ，则“ $a ⊥ b$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、复数 $z = (3 + i) (1 - 4 i)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + 11 i$ B、 $7 + 11 i$ C、 $- 1 - 11 i$ D、 $7 - 11 i$

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19、已知集合 $A = \{x |ln x \leq 1\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1\}$

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20、如图，在几何体 $A B D C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B_{1} C_{1} //$ 平面 $A B D C$ ，四边形 $A_{1} A C C_{1}$ 和 $A B D C$ 是全等的菱形，且平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B D C$ ， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是正三角形， $A B = 2$ ， $∠ A_{1} A C = ∠ B A C = 60 °$ .

(1)、求该几何体的体积；

(2)、求平面 $A_{1} A B B_{1}$ 与平面 $B_{1} C_{1} D$ 夹角的余弦值.

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得分	$[5, 15)$	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$
频数	5	15	20	10