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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 上的点，过 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $D$ 的截面交 $B C$ 于 $E$

(1)、证明： $D E / / A B$ ；

(2)、若二面角 $B_{1} - D E - B$ 的大小为 $60 °$ ，求几何体 $C D E - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{(\sqrt{3} \cos x - \sin x) \sin 2 x}{2 \cos x} + \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{3})$ 的值.

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间.

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3、设角 $A, B, C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角，已知向量 $\vec{m} = (\sin A + \sin C, \sin B - \sin A)$ ， $\vec{n} = (\sin A - \sin C, \sin B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .
（Ⅰ）求角 $C$ 的大小；
（Ⅱ）若向量 $\vec{s} = (0, - 1), \vec{t} = (\cos A, 2 \cos^{2} \frac{B}{2})$ ，试求 $|\vec{s} + \vec{t}|$ 的取值范围

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4、某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 $A B C D$ 和 $E F G H$ 构成面积为 ${200m}^{2}$ 的十字形区域，且计划在正方形 $M N P K$ 上建一座花坛，其造价为 $4200$ 元/ $m^{2}$ ，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为 $210$ 元/ $m^{2}$ ，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为 $80$ 元/ $m^{2}$ .

(1)、设 $A D$ 的长为 $x$ 米，试写出总造价 $Q$ (单位：元)关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

(2)、问：当 $x$ 取何值时，总造价最少？求出这个最小值.

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5、已知△ABC的外接圆圆心为O，且 $2 \overset{⃑}{A O} = \overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C}$ ， $|\overset{⃑}{O A}| = |\overset{⃑}{A B}|$ ，则向量 $\overset{⃑}{B A}$ 在向量 $\overset{⃑}{B C}$ 上的投影向量为．

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6、如图1所示，四边形 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $E$ 、 $F$ 、 $M$ 分别为 $B C$ 、 $C D$ 、 $B E$ 的中点，分别沿 $A E$ 、 $A F$ 及 $E F$ 所在直线把 $△ A E B$ 、 $△ A F D$ 和 $△ E F C$ 折起，使 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 三点重合于点 $P$ ，得到如图2所示的三棱锥 $P - A E F$ ，则下列结论中正确的有（）

A、三棱锥 $M - A E F$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ B、异面直线 $A M$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{34}}{34}$ C、过点 $M$ 的平面截三棱锥 $P - A E F$ 的外接球，所得截面的面积的最小值为 $\frac{π}{4}$ D、过点 $M$ 的平面截三棱锥 $P - A E F$ 的外接球，所得截面的面积的最大值为 $\frac{3 π}{2}$

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7、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60^{o}$ ， $D$ 是边 $B C$ 上的一点，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ B、 $△ A B C$ 外接圆的半径是 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ C、若 $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ ，则 $\vec{A B} = \frac{3}{2} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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8、已知 $f (x) = - x^{2} + 2 |x| + 1$ ，若方程 ${[f (x)]}^{2} + m f (x) + n = 0 (m, n \in R)$ 恰好有三个互不相等的实根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < - 3$ B、 $m \leq - 2$ C、 $m < - 3$ 或 $m > - 2$ D、 $m = - 2$ 或 $m < - 3$

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9、设 $a = sin 7$ ，则（）

A、 ${log}_{2} |a| < a^{2} < 2^{a}$ B、 ${log}_{2} |a| < 2^{a} < a^{2}$ C、 $a^{2} < {log}_{2} |a| < 2^{a}$ D、 $a^{2} < 2^{a} < {log}_{2} |a|$

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10、已知 $m$ 为正实数，且 $\frac{m}{\sin^{2} x} + \tan^{2} x \geq 15$ 对任意的实数 $x (x \neq k π + \frac{π}{2}, k \in Z)$ 均成立，则 $m$ 的最小值为（）

A、1 B、4 C、8 D、9

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11、在 $△ A B C$ 中， ${cos}^{2} \frac{B}{2} = \frac{a + c}{2 c}$ （ $a ， b_{} ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 的对边），则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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12、集合 $M = \{x |x = \sin \frac{n π}{3}, n \in Z\}$ ， $N = \{x |x = \cos \frac{n π}{2}, n \in Z\}$ ，则 $M \cap N =$

A、{－1，0，1} B、{0，1} C、∅ D、{0}

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13、恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
网民类型
在直播间购买大米的情况
合计
在甲直播间购买
在乙直播间购买
本地区网民

外地区网民
30

45
合计

20
100

(1)、补全2×2列联表，并判断依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；

(2)、用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有 $100000$ 名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为 $X$ ，求使事件“ $X = k$ ”的概率取最大值时 $k$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
a
0.1
0.05
0.01
0.005
$x_{n}$
2.706
3.841
6.635
7.879

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14、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、设 $a_{1} = 1$ ，若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $f (x) = 1 + x + x^{2} + x^{3} + ... + x^{n}$ ，设 $a_{n} = f^{'} (2)$ ，求 $S_{n}$ .

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15、在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面 $△ A B C$ 是正三角形且 $S A = S B = S C$ ， $M$ 是 $S C$ 的中点，且 $A M ⊥ S B$ ，底面边长 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 外接球的表面积为．

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16、在二项式 ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的二项式系数为．

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17、已知 $F (2, 0)$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（）

A、 $p = 4$ B、 $| M F | \geq | O F |$ C、以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D、当 $∠ O F M = 120 °$ 时， $△ O F M$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，关于 $y$ 轴对称，此时与 $y$ 轴最接近的一个极大值坐标为 $(\frac{π}{2}, 2)$ ，下列说法错误的是（）

A、 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = - \frac{5 π}{12}$ B、 $f (x) = 1$ 在 $(0, π)$ 有 $2$ 个根 C、 $f (x)$ 与直线 $y = x$ 有 $3$ 个交点 D、 $f (x)$ 关于 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 中心对称

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19、已知点 $P$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $C$ 的左，右焦点，若半径 $b$ 的圆 $M$ 同时与 $F_{1} P$ 的延长线、 $F_{1} F_{2}$ 的延长线以及线段 $P F_{2}$ 相切，若 $\tan ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{4}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、若变量 $x, y$ 满足限制条件 $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} \leq 4 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ ，则目标函数 $z = x - y^{2}$ 的最大值为（）

A、 $2$ B、 $- 1.36$ C、 $1.36$ D、 $- 2$

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网民类型	在直播间购买大米的情况		合计
网民类型	在甲直播间购买	在乙直播间购买	合计
本地区网民
外地区网民	30		45
合计		20	100

a	0.1	0.05	0.01	0.005
$x_{n}$	2.706	3.841	6.635	7.879