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相关试卷

1、定义域为 $R$ 的函数 $h (x)$ 满足：对任意 $x \in R$ ，都有 $h (x + 2 π) = h (x) + h (2 π)$ ，则称 $h (x)$ 具有性质 $P$ .

(1)、分别判断以下两个函数是否具有性质 $P$ ： $m (x) = 2 x - 1$ 和 $n (x) = 1 - cos x$ ；

(2)、函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (\frac{3}{2} < ω < \frac{5}{2}, |φ| < \frac{π}{2})$ ，判断是否存在实数 $ω$ ， $φ$ ，使 $f (x)$ 具有性质 $P$ ？若存在，求出 $ω$ ， $φ$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、在（2）结论下，若方程 $f (x + φ + \frac{ω π}{24}) = a$ （ $a$ 为常数）在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{7 π}{6}]$ 上恰有三个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，求 $sin (x_{3} - x_{2} - 2 x_{1})$ 的值.

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2、已知 $△ A B C$ 的两顶点坐标为 $A (1, - 1)$ ， $C (3, 0)$ ， $B_{1} (0, 1)$ 是边 $A B$ 的中点， $A D$ 是 $B C$ 边上的高．

(1)、求 $B C$ 所在直线的方程；

(2)、求高 $A D$ 所在直线的方程．

(3)、求过点 $C$ 且与直线 $A B$ 平行的直线方程．

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3、已知 $S_{n}$ 是 $\{\begin{matrix} a_{n} \end{matrix}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{2021} = 2$ B、 $S_{2021} = 1012$ C、 $a_{3 n} \cdot a_{3 n + 1} \cdot a_{3 n + 2} = 1$ D、 $\{\begin{matrix} a_{n} \end{matrix}\}$ 是以 $3$ 为周期的周期数列

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4、若正实数 $x, y$ 满足 $2 x + y = 1$ ，则下列说法正确的是（　　）

A、 $x y$ 有最小值为 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 有最小值为 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、 $4 x^{2} + y^{2}$ 有最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $x (y + 1)$ 有最大值为 $\frac{1}{2}$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + c} (x \in R, c \in R), f (0) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求c的值；

(2)、函数图象中心对称的事实：“函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 对称”的充要条件是“ $f (a - x) + f (a + x) = 2 b$ 对于定义域内任何 $x$ 恒成立，其中点 $(a, b)$ 称为函数 $f (x)$ 图象的对称中心”．试应用上述事实判断函数 $f (x)$ 的图象是否中心对称，若是，求出其对称中心的坐标；若不是，请说明理由；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [1, n]$ （其中 $n \in R, n > 1$ ），都存在 $x_{2} \in [1, 44]$ ，使得 $f (9 - 5 n x_{1}) + f (x_{1} x_{2}) = 1$ ．求实数 $n$ 的取值范围．

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6、已知函数 $f (x) = sin 2 x + \sqrt{3} cos 2 x - 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 上的最大值以及取得最大值时 $x$ 的值．

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7、某企业 $2024$ 年年初花费64万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为30万元，设备使用 $x (x \in N^{*})$ 年后该设备的维修保养费用为 $x^{2} + 4 x$ 万元，盈利总额为y万元．

(1)、求y关于x的函数关系式；

(2)、求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额＝盈利总额÷使用年数）．

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8、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 4 < 0\}$ ．集合 $B = \{x |a - 2 < x < a + 2, a \in R\}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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9、 $\frac{2 cos 65 ° - \sqrt{3} cos 35 °}{cos 10 ° - sin 10 °} =$ ．

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10、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上且不恒为0的图象连续的函数，若 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ， $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、4是 $f (x)$ 的一个周期 D、 $- 1 \leq f (x) \leq 1$

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11、已知 $θ \in (0, π), sin θ + cos θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $sin θ cos θ = - \frac{12}{25}$ B、 $θ \in (\frac{π}{2}, π)$ C、 $sin θ - cos θ = - \frac{7}{5}$ D、 $tan 2 θ = \frac{24}{7}$

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12、已知 $a > b > 0 > c$ ，则下列正确的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a^{2} > c^{2}$ C、 $b c > a c$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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13、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 a - 2) x - 4 a, (x < 1) \\ \log_{\frac{1}{2}} x, (x \geq 1) \end{array}$ 是 $R$ 上的单调函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 2, \frac{2}{3})$ B、 $(- \frac{2}{3}, 2]$ C、 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2]$

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14、“ $x = \frac{π}{4} + 2 k π (k \in Z)$ ”是“ $tan x = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 1} + \frac{2024}{x - 2}$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2}, 2)$ D、 $[\frac{1}{2}, 2) \cup (2, + \infty)$

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16、命题 $p : \forall x > 2, x^{2} - 1 > 0$ ，则 $\neg p$ 是（）

A、 $\forall x \leq 2, x^{2} - 1 < 0$ B、 $\forall x > 2, x^{2} - 1 < 0$ C、 $\exists x > 2, x^{2} - 1 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 2, x^{2} - 1 \leq 0$

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17、对于函数 $y = f (x)$ ，若在定义域内存在实数x，满足 $f (- x) = - k f (x)$ ，其中k为整数，则称函数 $y = f (x)$ 为定义域上的“k阶局部奇函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，试判断 $y = f (x)$ 是否为 $(- 1, 1)$ 上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；

(2)、若 $f (x) = \log_{3} (x + m)$ 是 $[- 3, 3]$ 上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；

(3)、若 $f (x) = x^{2} - 2 x + t$ ，对任意的实数 $t \in (- \infty, 2]$ ，函数 $y = f (x)$ 恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.

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18、给出以下三个条件：①直线 $x = x_{1}$ ， $x = x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 图象的任意两条对称轴，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{4}$ ， ② $f (- \frac{π}{12}) = 0$ ， ③对任意的 $x \in R$ ， $f (x) \leq |f (\frac{π}{24})|$ ．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数 $f (x) = \sin ω x \cdot \cos ω x + \sqrt{3} \cos^{2} ω x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $0 < ω < 3$ ， ______．

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若关于 $x$ 的方程 $g (x) - k = 0$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且只有一个实数解，求实数 $k$ 的取值范围．

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19、（1）已知角 $α$ 的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $(- 3, - 4)$ ，求 $\sin (α + \frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{π}{2} + α) + \tan (2 π - α)$ 的值；
（2）已知 $0 < θ < π$ ， $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ，求 $\sin θ - \cos θ$ 和 $\tan θ$ 的值.

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20、（1）计算： ${(\lg 5)}^{2} - {(\lg 2)}^{2} + 8^{\frac{2}{3}} \times \lg \sqrt{2} - {0.6}^{0} + {0.2}^{- 1}$ ；
（2）已知 $16^{a} = 2^{b} = 27$ ，求 $e^{\ln (\log_{2} 9)} \times (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})$ 的值.

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