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相关试卷

1、若圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 恰有 $3$ 个点到直线 $x - y + \sqrt{m} = 0$ 的距离为1，则 $m =$ （）

A、 $4$ B、 $16$ C、 $2$ D、 $8$

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2、如图，湖州“飞凤大桥”是一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线.一般的，悬链线方程为 $y = \frac{c (e^{\frac{x}{c}} + e^{-^{} \frac{x}{c}})}{2}$ （ $c$ 为参数， $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.71828)$ ，当 $c = 1$ 时，该方程就是双曲余弦函数 $cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} .$

(1)、求 $2 {[cosh (x)]}^{2} - cosh (2 x)$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $cosh (2 x) \geq k cosh (x) - 2$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、如果定义双曲正弦函数为 $sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，当 $x \in [\frac{3 π}{4}, \frac{9 π}{4}]$ 时，试比较 $cosh (cos x)$ 与 $sinh (sin x)$ 的大小关系，并说明理由.

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3、已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) \cdot c o s (x - \frac{π}{3})$ ，可将其化成 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + K (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的形式.

(1)、求A， $ω$ ， $φ$ ， K的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期，并求其图象的对称中心；

(3)、若 $f (\frac{α}{2}) = \frac{2}{3}$ ， $α \in [0, π]$ ，求 $c o s α$ 的值.

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4、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (1 - x) - {log}_{2} (1 + x) .$

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、判断函数 $g (x) = f (x) - x - 1$ 是否存在零点，若 $g (x)$ 存在零点 $x_{0}$ ，请写出一个区间 $(a, b)$ ，满足 $x_{0} \in (a, b)$ ，且 $b - a \leq \frac{1}{3};$ 若 $g (x)$ 不存在零点，请说明理由.

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5、已知锐角 $θ$ 满足方程 $2 sin (π - θ) + cos (π + θ) = a (a \in R) .$

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $tan θ$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $tan \frac{θ}{2} + cos 2 θ$ 的值.

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6、已知集合 $A = {x | \frac{1}{2} \leq 2^{x} \leq 8}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{- x^{2} - x + 6}} .$

(1)、求 $A \cap B;$

(2)、若集合 $M = {x | |x| < m}$ ，且 $M \cap A = M$ ，求实数 m的取值范围.

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7、已知函数 $f (x) = |x^{2} + a x + 1| (a \in R)$ ，其图象与直线 $y = x$ 有两个交点.若关于x的方程 $f (f (x)) = f (x)$ 有三个不等的实根，则实数a的值为.

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8、已知单位圆上有一段圆弧的长是l，且该弧所对圆周角的余弦值是 $\frac{4}{5}$ ，则 $sin l =$ .

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9、已知幂函数 $f (x) = x^{α} (α$ 是常数 $)$ 满足 $f (8) = 2$ ，则 $f (1000) =$ .

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10、如图，正方形 ABCD的边长为1， P，Q分别为边AB，DA上的点，当 $△ A P Q$ 的周长为2时，则（）

A、 $∠ P C Q = 45^{\circ}$ B、PQ的长度有最大值 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $△ A P Q$ 的面积有最大值 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、 $△ C P Q$ 的面积有最小值 $\sqrt{2} - 1$

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11、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则（）

A、 $a + b \geq 2$ B、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 2$ C、 ${l o g}_{2} a + {l o g}_{2} b \geq 0$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 2$

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12、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $y = f (x + \frac{π}{12})$ 是奇函数 C、 $x = \frac{7 π}{12}$ 是函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域是 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$

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13、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (n + 1) - f (n) = \frac{π}{2}$ ， $n \in N^{*}$ ，集合 $S = {s i n f (n) | n \in N^{*}}$ ，若 $S = {a, b}$ ，则ab的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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14、已知 $\frac{c o s α}{1 + s i n α} = \frac{s i n β}{1 + c o s β}$ ，则 $s i n (α + β)$ 的值为（）

A、1 B、0 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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15、某“激进型理财产品”是按复利的方式计算利息，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息.假设最开始本金为a元，年利率为 $5 %$ ，约经过（）年后，本息和能够“增倍” $($ 即为原来的2倍 $) . ($ 附参考公式： $ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \dots$ ，当x接近于0时， $ln (1 + x) \approx x;$ 参考数据： $ln 2 \approx 0.6931$ ， $ln 3 \approx 1.0986$ ， $ln 5 \approx 1.6094)$

A、16 B、14 C、12 D、10

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a + 1) x ， x \leq 1 \\ 2^{x^{2} - a x - 1} ， x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1]$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(- 1 ， 0]$ D、 $(- 1 ， 2)$

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17、“ $a > \sqrt{b} > 0$ ”是“ $ln a^{2} > ln b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、将函数 $y = sin 2 x$ 图象上每个点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式是（）

A、 $y = sin (x - \frac{π}{6})$ B、 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ C、 $y = sin (x - \frac{π}{3})$ D、 $y = sin (x + \frac{π}{3})$

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19、已知集合 $A = {x | x = 2 k + 1, k \in Z}$ ， $B = {x | x = 4 k + 1, k \in Z}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A \cap B = A$ B、 $A \cap B = B$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $A = B$

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20、已知角 $θ$ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (a, 2 a)$ ，其中 $a \neq 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $sin θ = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $cos θ = \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $tan θ = \frac{1}{2}$ D、 $sin θ = 2 cos θ$

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