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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $∠ A D C = 60 °$ ， $△ P A D$ 为正三角形， $O$ 为 $A D$ 的中点，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ 是线段 $P C$ 上的点.

(1)、求证： $P C ⊥ B C$ ；

(2)、是否存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与平面 $P A B$ 的夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，若存在；求出此时 $\frac{P M}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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2、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - n$ ， $b_{n} = a_{n} + 1$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} \cdot \log_{2} b_{2 n + 1}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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3、已知圆心为 $N (3, 4)$ 的圆被直线 $x = 1$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求圆N的方程；

(2)、点 $B (3, - 2)$ 与点C关于直线 $x = - 1$ 对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程．

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点为 $F$ ，抛物线上的点 $(\frac{1}{2}, y_{0})$ 到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则 $p =$

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5、已知点 $P$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 为其左、右焦点，且△ $F_{1} P F_{2}$ 的面积为3，则下列说法正确的是（）

A、P点到 $x$ 轴的距离为 $\frac{3}{2}$ B、 $∠ F_{1} P F_{2} > 90^{\circ}$ C、△ $F_{1} P F_{2}$ 的周长为 $4 (\sqrt{2} + 1)$ D、△ $F_{1} P F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{3}{2} (\sqrt{2} - 1)$

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6、数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线 $y = a x^{2}$ 的一部分，其焦点坐标为 $(0, - 2)$ ，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（）

A、18米 B、21米 C、24米 D、27米

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7、下列等式中正确的是（）

A、 $\sin 15 ° \cos 15 ° = \frac{1}{4}$ B、 $2 \sin^{2} 22.5 ° - 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\tan 71 ° - \tan 26 °}{1 + \tan 71 ° \tan 26 °} = 1$ D、 $\sin 26 ° \cos 34 ° + \cos 26 ° \sin 34 ° = \frac{1}{2}$

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8、折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A， $B$ 间的圆弧长为 $l_{1}$ ， $C$ ， $D$ 间的圆弧长为 $l_{2} = \frac{1}{2} l_{1}$ ，当弦长 $A B$ 为 $d = 2 \sqrt{3}$ ，圆弧所对的圆心角为 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，则扇面字画部分的面积为（）

A、 $π$ B、 $\frac{4 π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，长轴的左端点为 $A (- 2, 0)$ .

(1)、求C的方程；

(2)、过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线 $x = 4$ ，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.

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10、华人数学家李天岩和美因数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，对于 $x_{0} \in R$ ，令 $x_{n} = f (x_{n - 1}) (n = 1, 2, 3, \dots)$ ，若存在正整数 $k$ 使得 $x_{k} = x_{0}$ ，且当 $0 < j < k$ 时， $x_{j} \neq x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个周期为 $k$ 的周期点.
给出下列四个结论：
①若 $f (x) = 2 x - 1$ ，则 $f (x)$ 存在唯一一个周期为1的周期点；
②若 $f (x) = 2 (1 - x)$ ，则 $f (x)$ 存在周期为2的周期点；
③若 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x, & x < \frac{1}{2} \\ 2 (1 - x), & x \geq \frac{1}{2} \end{array}$ ，则 $f (x)$ 存在周期为3的周期点；
④若 $f (x) = x (1 - x)$ ，则对任意正整数 $n$ ， $\frac{1}{2}$ 都不是 $f (x)$ 的周期为 $n$ 的周期点．
其中所有正确结论的序号是．

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11、已知集合 $A = \{9, 3 m\}$ ， $B = \{m^{2}, 9\}$ ，且 $A = B$ ，则 $m =$ （）

A、0 B、3 C、 $\pm 3$ D、3或0

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12、已知 $x > - 1$ ， $y > 0$ 且满足 $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{y}$ 的最小值为．

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13、定义：如果函数 $f (x)$ 在定义域内，存在极大值 $f (x_{1})$ 和极小值 $f (x_{2})$ ，且存在一个常数 $k$ ，使 $f (x_{1}) - f (x_{2}) =$ $k (x_{1} - x_{2})$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为极值可差比函数，常数 $k$ 称为该函数的极值差比系数.已知函数 $f (x) = x -$ $\frac{1}{x} - a ln x$

(1)、当 $a = \frac{5}{2}$ 时，求 $k$ ；

(2)、是否存在 $a$ 使 $f (x)$ 的极值差比系数为 $2 - a$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、若 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \leq a \leq \frac{5}{2}$ ，求 $f (x)$ 的极值差比系数的取值范围.

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，定义椭圆 $C$ 上的点 $M (x_{0}, y_{0})$ 的“伴随点”为 $N (\frac{x_{0}}{a}, \frac{y_{0}}{b})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 上的点 $M (x_{0}, y_{0})$ 的“伴随点” $N$ 的轨迹方程；

(2)、如果椭圆 $C$ 上的点 $(1, \frac{3}{2})$ 的“伴随点”为 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2 b})$ ，对于椭圆 $C$ 上的任意点 $M$ 及它的“伴随点” $N$ ，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 2, b = \sqrt{3}$ 时，直线 $l : y = k x + m$ 交椭圆 $C$ 于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点 $O$ ，求 $△ O A B$ 的面积.

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15、已知不等式 $e^{(1 - a) x} > a x + ln x$ 在区间 $(0, e^{2}]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

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16、2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为.

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17、一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球4个，白球1个，黑球3个，则下列选项正确的有（）

A、从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为 $ξ$ ，则数学期望 $E (ξ) = \frac{3}{2}$ B、每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为 $η$ ，则 $D (η) = \frac{9}{8}$ C、从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有 $X$ 种，则数学期望 $E (X) = \frac{17}{8}$ D、每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为 $Y$ ，则数学期望 $E (Y) = \frac{3}{5}$

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18、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导数，且 $f (x) + g^{'} (x) = 5$ ， $f (x - 1) + g^{'} (5 - x) = 5$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $\sum_{k = 1}^{15} f (k) =$ （）

A、80 B、75 C、70 D、65

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19、已知 $f (x) = \ln x - \frac{x - 1}{x + 1}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $x - 2 y - 1 = 0$ B、 $y = 0$ C、 $3 x - 2 y - 3 = 0$ D、 $x -2 y - e =0$

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20、在边长为 $1$ 的正三角形 $A B C$ 中， $|\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{B C}|$ 的值为

A、 $1$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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