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相关试卷

1、如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D, A B E F$ 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．长度为1的金属杆端点 $N$ 在对角线 $B F$ 上移动，另一个端点 $M$ 在正方形 $A B C D$ 内（含边界）移动，且始终保持 $M N ⊥ A B$ ，则端点 $M$ 的轨迹长度为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{π}{4}$

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2、若直线 $a x + b y = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 无公共点，则点 $P (a, b)$ 与圆的位置关系是（）

A、点 $P$ 在圆上 B、点 $P$ 在圆外 C、点 $P$ 在圆内 D、以上都有可能

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3、已知空间向量 $\vec{a} = (3, 0, 4), \vec{b} = (1, \sqrt{3}, 0)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{3}{2} (1, \sqrt{3}, 0)$ B、 $\frac{3}{4} (1, \sqrt{3}, 0)$ C、 $\frac{3}{25} (3, 0, 4)$ D、 $\frac{3}{5} (3, 0, 4)$

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4、椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$

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5、已知点 $A (- 3, 4), B (2, 2)$ ，直线 $y = k x - 2$ 与直线 $A B$ 平行，则实数 $k$ 等于（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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6、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 3, 0), \vec{b} = (m, 2, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m$ 等于（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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7、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{2} = 3, a_{6} = 11$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、 $7$ B、 $6$ C、 $\frac{47}{5}$ D、 $\frac{31}{5}$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $C D = 2 B D$ ．

(1)、若 $\cos ∠ A D C = - \frac{1}{4}$ ， $A C = 8$ ， $A D = 4$ ，求 $A B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形， $B = \frac{π}{3}$ ，求 $\frac{B D}{A B}$ 的取值范围．

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9、如图， $A C$ 为圆锥 $S O$ 底面圆 $O$ 的直径，点 $B$ 是圆 $O$ 上异于 $A, C$ 的动点，等腰直角三角形 $△ S O C$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求圆锥 $S O$ 的表面积；

(2)、若点 $B$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的一个三等分点，求三棱锥 $A - S B C$ 的体积.

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10、如图所示的两个对称的等腰 $△ A B O$ 与 $△ A_{1} B_{1} O$ ，且 $A B = 2$ ， $A O = \sqrt{5}$ ，若该平面图形绕着直线 $l_{1} (l_{1} ∥ A B)$ 旋转一周围成的几何体的体积记为 $V_{1}$ ，该平面图形绕着直线 $l_{2} (l_{2} ⊥ A B)$ 旋转一周围成的几何体的体积记为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ .

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11、如图，一个水平放置的平面图形 $O A B C$ 的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中 $O^{'} A^{'} ∥ B^{'} C^{'}$ ， $∠ O^{'} A^{'} B^{'} = 90 °$ ， $O^{'} A^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 4$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则平面图形 $O A B C$ 的面积为.

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12、折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形 $A O B$ ，其中 $∠ A O B = 150 °$ ， $O A = 2 O C = 2 O D = 2$ ，点F在弧 $A B$ 上，且 $∠ B O F = 120 °$ ，点E在弧 $C D$ 上运动.则下列结论正确的有（）

A、 $\vec{O D} \cdot \vec{D A} = \sqrt{3} - 1$ B、 $\vec{O F} = λ \vec{O A} + m \vec{O B}$ ，则 $λ + m = \sqrt{3} + 1$ C、 $\vec{O F}$ 在 $\vec{D F}$ 方向上的投影向量为 $\frac{5}{7} \vec{D F}$ D、 $\vec{E F} \cdot \vec{E B}$ 的最小值是 $- 3$

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13、下列命题正确的（）

A、棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 B、两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C、用平面截圆柱，得到的截面不可能是等腰梯形 D、底面是正方形，两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱

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14、如图，为了测量河对岸两点 $C, D$ 间的距离，现在沿岸相距 $2 km$ 的两点 $A, B$ 处分别测得 $∠ B A C = 105^{\circ}, ∠ B A D = 60^{\circ}, ∠ A B C = 45^{\circ}, ∠ A B D = 60^{\circ}$ ，则 $C, D$ 间的距离为（）

A、 $\sqrt{2} km$ B、 $\sqrt{3} km$ C、 $2 km$ D、 $2 \sqrt{2} km$

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $sin 2 B cos A = sin C cos B$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形或等腰三角形

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16、以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）

A、8π B、4π C、8 D、4

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对各边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，则角 $A =$ （）

A、 $60 °$ B、 $120 °$ C、 $30 °$ D、 $150 °$

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18、已知 $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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19、若复数 $z$ 满足 $(3 - i) (z + 2) = 2 + 6 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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20、若 $\vec{A B} = (1, 2)$ ， $\vec{A C} = (- 1, 1)$ ，则 $\vec{B C} =$ （）

A、 $(2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- 2, - 1)$

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