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相关试卷

1、设平面内两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角为 $θ$ ，定义 $\vec{m} \otimes \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| sin θ$ .

(1)、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1, 2), |\vec{b}| = \sqrt{5}, \vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值；

(2)、在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 3), B (2, 2), C (3, 4)$ ，求 $\vec{A B} \otimes \vec{B C}$ 的值；

(3)、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{sin α}, \frac{2}{cos α}), \vec{b} = (- \frac{2}{cos α}, \frac{1}{sin α}), α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + 2 {cos}^{2} x + m$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为3.

(1)、求 $m$ ；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, π]$ 上的单调递增区间；

(3)、将 $f (x)$ 的图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到 $g (x)$ 的图象，若 $x_{1}, x_{2} \in (\frac{π}{2}, \frac{7 π}{6})$ 且 $x_{1} \neq x_{2}, g (x_{1}) = g (x_{2}) = \frac{1}{2}$ ，求 $g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 的值.

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3、设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，已知函数 $f (x) = {log}_{a} (x + 2), g (x) = {log}_{a} (2 - x)$ .

(1)、判断 $f (x) + g (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、令函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ ，解关于 $x$ 的不等式 $h (2 x - 3) > h (3 x - 1)$ .

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4、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边，已知 $a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 11, △ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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5、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, 2)$ .

(1)、若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{c}$ ，且 $|\vec{c}| = 1$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b} = (1, 1)$ ，且 $m \vec{a} - \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $m$ 的取值范围.

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6、在锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，已知 $a = 4$ ，且 $2 S = a^{2} - {(b - c)}^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的周长的取值范围是.

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7、已知函数 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 是偶函数，且 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{12}]$ 上单调递减，则 $ω =$ .

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8、已知向量 $\bar{a} = (m + 1, m), \bar{b} = (2, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ ．

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} - 2 a x + a, x < 1, \\ l n x - a, x \geq 1, \end{matrix}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - 1]$ B、若 $f (x)$ 有3个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $(0, + \infty)$ C、若 $f (x)$ 有3个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} - x_{3}$ 的取值范围是 $(- \infty, - 1)$ D、存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 有最小值

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10、已知点 $M$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $∠ A B C = \frac{π}{6}, A B = 4, B C = 5$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{2 \sqrt{3}}{5} \vec{B C}$ B、若 $\vec{M A}, \vec{M B}, \vec{M C}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{M A}| = 1, |\vec{M B}| = 1, |\vec{M C}| = 3$ ，则 $|\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}| = 2$ C、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形 D、若 $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，且 $x + y = \frac{1}{3}$ ，则 $△ M B C$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{2}{3}$

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11、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = a^{2 x - 2} - 3 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过点 $(1, - 2)$ B、函数 $f (x) = {log}_{2} 2^{x}$ 与 $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 表示同一个函数 C、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3}} + 1$ 的最小值为3 D、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 2$ 或 $x > 1}$ ，则 $a b c > 0$

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12、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x + 1)$ 是偶函数， $f (x + 2)$ 是奇函数，且当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ ，若 $f (0) + f (3) = 4$ ，则 $f (\frac{17}{2}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{7}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、3

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13、如图，一艘缉毒船在某海域巡逻，经过 $A$ 点时，发现北偏东 $80^{\circ}$ 方向，距离为 $60 (\sqrt{3} - 1) km$ 的 $B$ 点处有毒贩正驾驶小船以 $40 km / h$ 的速度往北偏东 $20^{\circ}$ 的方向逃窜，缉毒船立即以 $20 \sqrt{6} km / h$ 的速度前往缉捕，则缉毒船经过（） $h$ 恰好能抓获毒贩.

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、已知 $D, E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B, A C$ 上的点，且满足 $\vec{A B} = 2 \vec{A D}, \vec{A C} = 3 \vec{E C}, B E$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，连接 $A O$ 并延长交 $B C$ 于点 $F$ ，若 $\vec{A O} = λ \vec{A F}$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = 2^{x} + x - \frac{3}{2}, g (x) = {log}_{2} x + x - \frac{3}{2}, h (x) = 2 x - \frac{3}{2}$ 的零点分别为 $a, b, c$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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16、若 $\{{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}\}$ 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（）

A、 $\{{\vec{e}}_{1} - \frac{1}{2} {\vec{e}}_{2}, \frac{1}{2} {\vec{e}}_{2} - {\vec{e}}_{1}\}$ B、 $\{2 {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{1} - \frac{1}{2} {\vec{e}}_{2}\}$ C、 $\{2 {\vec{e}}_{2} - 3 {\vec{e}}_{1}, 6 {\vec{e}}_{1} - 4 {\vec{e}}_{2}\}$ D、 $\{{\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}\}$

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17、不等式 $\frac{2 x - 1}{1 - x} \geq 1$ 的解集是（）

A、 $\{x ∣ \frac{1}{2} \leq x < 1\}$ B、 $\{x ∣ x \leq \frac{1}{2}$ 或 $x > 1\}$ C、 $\{x ∣ \frac{2}{3} \leq x < 1\}$ D、 $\{x ∣ x \leq \frac{2}{3}$ 或 $x > 1\}$

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18、已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边过点 $P (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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19、已知集合 $A = \{0, a\}, B = \{1, a^{2} - 2, 1 - a\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、2或 $- 1$

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20、如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $A_{1} A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A_{1} A / / B_{1} B$ ， $C_{1} C / / B_{1} B$ ， $A A_{1} = 2 B B_{1} = 4$ ， $C C_{1} = 3$ ，设 $O$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $C_{1} O ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、设 $D$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，求 $B_{1} D$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值的最大值．

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