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相关试卷

1、设 $A, B, C$ 三点在棱长为2的正方体的表面上，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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2、某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示， $A$ 点、 $B$ 点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为 $20 m$ ．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成 $43^{\circ} ~ 48^{\circ}$ 的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则 $A$ 、 $B$ 两点在水平方向的距离约为（）

A、 $13 m$ B、 $19 m$ C、 $23 m$ D、 $29 m$

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3、函数 $f (x) = \cos (\frac{π}{4} + x) \sin x$ 的最小正周期是（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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4、衣柜里的樟脑丸会随着时间的推移挥发而体积缩小，刚放进的新樟脑丸体积为 $V_{0}$ ，经过 $t$ 天后体积 $V$ 与天数 $t$ 的关系式为 $V = V_{0} e^{- k t}$ ．若新樟脑丸经过 $50$ 天后，体积变为 $\frac{4}{9} V_{0}$ ，则 $k$ 约为（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.6931$ ， $\ln 3 \approx 1.0986$ ）

A、 $0.0162$ B、 $0. 2132$ C、 $0.3012$ D、 $0.5160$

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5、冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数 $R_{0}$ 与世代间隔 $T$ 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型 $W (t) = 2^{r t}$ 来描述累计感染甲型流感病毒的人数 $W (t)$ 随时间t， $t \in Z$ （单位：天）的变化规律，其中指数增长率 $r$ 与基本再生数 $R_{0}$ 和世代间隔T之间的关系近似满足 $R_{0} = 1 + r T$ ，根据已有数据估计出 $R_{0} = 4$ 时， $T = 12$ ．据此回答，累计感染甲型流感病毒的人数增加至 $W (0)$ 的3倍至少需要（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ， $\lg 3 \approx 0.477$ ）（）

A、6天 B、7天 C、8天 D、9天

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6、集合 $P = \{x| x < 2\}$ ， $Q = \{y| y = {(\frac{1}{2})}^{x}\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4})$ C、 $(0, 2)$ D、 $\emptyset$

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的其中一个焦点为 $(\sqrt{5}, 0)$ ，一条渐近线方程为 $2 x - y = 0$
（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点的纵坐标为4，求直线 $l$ 的方程.

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8、如图，圆锥 $P O$ 的底面直径和高均是 $a$ ，过 $P O$ 的中点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．

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9、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $l_{1} : x - y - 3 = 0$ 上且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $M (2, 0)$ .

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l_{2} : x + 2 y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $△ A B C$ 的面积.

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10、如图所示，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为1，则四棱锥 $A - B_{1} B C C_{1}$ 的体积为．

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11、已知直线 $l ： x + 2 y = 0$ 与直线 $m ： a x + 4 y + a = 0$ 平行，则 $l$ 与 $m$ 之间的距离为

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12、已知双曲线的方程是 $16 x^{2} - 9 y^{2} = - 144$ ，则该双曲线的渐近线方程为.

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13、已知一个正方体的外接球的体积为 $36 π$ ，则正方体的体积为.

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14、已知三角形三顶点 $A (0, 1), B (- 2, 0), C (2, 0)$ ，则 $A C$ 边上的高所在的直线方程为.

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15、若焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $m =$ （）

A、 $1$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3$ D、 $2 \sqrt{3}$

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16、手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：
顾客年龄（岁）
20岁以下
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
70岁及以上
手机支付人数
3
12
14
9
5
2
0
其他支付方式人数
0
0
2
13
27
12
1
从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在 $[40, 60)$ 内且未使用手机支付的概率为（）

A、 $\frac{21}{50}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{23}{50}$ D、 $\frac{21}{25}$

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17、直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 5 = 0$ 与 $l_{2} : 4 x - 3 y - \frac{1}{3} = 0$ 的交点坐标为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(\frac{7}{3}, 3)$ C、 $(3, \frac{7}{3})$ D、 $(\frac{3}{7}, 3)$

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18、与向量 $\vec{d} = (12, 5)$ 平行的单位向量为（）

A、 $(\frac{12}{13}, \frac{5}{13})$ B、 $(- \frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ C、 $(\frac{12}{13}, \frac{5}{13})$ 或 $(- \frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ D、 $(\frac{12}{13}, - \frac{5}{13})$ 或 $(- \frac{12}{13}, \frac{5}{13})$

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19、已知直线l的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，且过点 $(1, 3)$ ，则它在y轴上的截距为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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20、直线 $x = \tan 60^{°}$ 的倾斜角为（）

A、60° B、90° C、120° D、150°

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顾客年龄（岁）	20岁以下	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	70岁及以上
手机支付人数	3	12	14	9	5	2	0
其他支付方式人数	0	0	2	13	27	12	1