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相关试卷

1、在高为3的正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 4$ ，且上底面的面积为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、直线 $A A_{1}$ 与 $C C_{1}$ 异面 B、直线 $A B$ 与 $B_{1} C_{1}$ 异面 C、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $7 \sqrt{3}$ D、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $8 \sqrt{3}$

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2、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 表示水平放置的 $△ O A B$ 根据斜二测画法得到的直观图， $O^{'} A^{'}$ 在 $x^{'}$ 轴上， $A^{'} B^{'}$ 与 $x^{'}$ 轴垂直，且 $O^{'} A^{'} = \sqrt{2}$ ，则 $△ O A B$ 中 $O A$ 边上的高为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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3、设函数 $f (x) = (e^{x} - m) ln (x + n)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，则 $m + n$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4、葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高度之比为 $3 : 4 : 5$ ，且总高度为 $24 cm$ ，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（）（ $π \approx 3$ ）

A、 $244 {cm}^{3}$ B、 $108 {cm}^{3}$ C、 $432 {cm}^{3}$ D、 $1952 {cm}^{3}$

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5、已知 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，且 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{b}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ D、 $- \vec{a}$

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6、若 $\frac{z + 2}{z} = i$ ，则 $z (z + 2 i) =$ （）

A、 $2 i$ B、2 C、 $- 1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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7、定义集合运算： $A \oplus B = \{(x, y)| \frac{x}{2} \in A, \frac{2}{y} \in B\}$ .若集合 $A = B = \{x \in N |1 < x < 4\}$ ， $C = \{(x, y) |y = - \frac{1}{6} x + \frac{5}{3}\}$ ，则 $(A \oplus B) \cap C =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{(4, 1)\}$ C、 $\{(1, \frac{3}{2})\}$ D、 $\{(4, 1), (6, \frac{2}{3})\}$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{a x}{e^{x}}$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，记函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，求 $f^{'} (0)$ 的值.

(2)、当 $a = 1$ ， $x \geq 1$ 时，证明： $f (x) > \frac{3}{2} cos x$ .

(3)、当 $a \geq 2$ 时，令 $g (x) = e^{x} [a + 1 - f (x)]$ ， $g (x)$ 的图象在 $x = m$ ， $x = n (m < n)$ 处切线的斜率相同，记 $g (m) + g (n)$ 的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的最小值.
（注： $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）.

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9、某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
200

(1)、根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？

(2)、现有n $(n \in N^{*})$ 根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i）当 $n = 3$ ，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为 $\frac{2^{2 n - 1} \cdot n! (n - 1)!}{(2 n)!} .$
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d .$
$P (K^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD， $P A = P D = \sqrt{5}$ ，点E是线段AD的中点， $\vec{C M} = 2 \vec{M P}$ .

(1)、证明： $P E$ //平面BDM；

(2)、求平面AMB与平面BDM的夹角.

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11、某中学的A､B两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有种不同的排课方式.（用数字作答）

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + a (e^{x - 1} + e^{- x + 1})$ 有唯一零点，则 $a =$

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13、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 2^{x} - 1 |, x < 0 \\ x^{2} - 2 x + 1, x \geq 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) - k = 0$ 有3个实数根，则实数k的取值范围是.

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14、如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，设平面 $A B_{1} C_{1} \cap$ 平面 $A B C = l$ ，点 $E, F$ 分别在直线 $l$ 和直线 $B B_{1}$ 上，且满足 $E F ⊥ l, E F ⊥ B B_{1}$ .

(1)、证明： $E F ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、若直线 $E F$ 和平面 $A B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求该三棱台的体积.

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15、已知四面体 $A B C D$ 各顶点都在半径为3的球面上，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ，直线 $A D$ 与 $B C$ 所成的角为 $90 °$ ，则该四面体体积的最大值为.

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16、过双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的一个焦点作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是.

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17、对于各数位均不为 $0$ 的三位数 $\bar{a b c}$ ，若两位数 $\bar{a b}$ 和 $\bar{b c}$ 均为完全平方数，则称 $\bar{a b c}$ 具有“ $S$ 性质”，则具有“ $S$ 性质”的三位数的个数为．

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18、设 $a > 1$ ， n为大于1的正整数，函数的定义域为R ， $f (x) - f (y) = a^{y} f (x - y)$ ， $f (1) \neq 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 是增函数 D、 $\frac{f (n + 1)}{f (1)} > a^{n} + n$

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19、连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X，掷出点数之和为Y，则（）

A、事件“X为奇数”发生的概率 $\frac{1}{8}$ B、事件“ $Y < 17$ ”发生的概率为 $\frac{53}{54}$ C、事件“ $X = 2$ ”和事件“ $Y = 4$ ”相等 D、事件“ $X = 4$ ”和事件“Y＝6”独立

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20、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 2)$ ， $C (2, - 1)$ ， $△ A B C$ 的外接圆为 $⊙ M$ ，则（）

A、点 $M$ 的坐标为 $(1, - 1)$ B、 $⊙ M$ 的面积是 $5 π$ C、点 $(4, 3)$ 在 $⊙ M$ 外 D、直线 $y = 2 x - 3$ 与 $⊙ M$ 相切

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性别	速度		合计
性别	快	慢	合计
男生	65
女生		55
合计	110		200

$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.025	0.010
k	2.706	3.841	5.024	6.635