相关试卷

1、【阅读理解问题】观察：利用平方差公式进行计算： $(2 - 1) (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1)$
解：原式 $= (2^{2} - 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1)$
$= (2^{4} - 1) (2^{4} + 1)$
$= 2^{8} - 1$ ．

(1)、基础运用计算： $(1 + 2) (1 + 2^{2}) (1 + 2^{4}) (1 + 2^{8}) (1 + 2^{16}) + 1 =$ _________；

(2)、拓展运用计算：
① $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{4}}) (1 + \frac{1}{2^{8}}) + \frac{1}{2^{15}}$ ；
② $3 \times (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) (2^{64} + 1)$ ．

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2、交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式 $v = 16 \sqrt{d f}$ ，其中 $v$ 表示车速（单位： $km/h$ ）， $d$ 表示刹车后车轮滑过的距离（单位： $m$ ）， $f$ 表示摩擦因数．在一次交通事故中，测得 $d = 36 m$ ， $f = 0.81$ ，而发生交通事故的路段限速为 $80 km/h$ ，肇事汽车是否违规超速行驶？并说明理由．

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3、已知 $2 x + y + 7$ 的立方根是3，16的算术平方根是 $2 x - y$ ， $z$ 是 $\sqrt{43}$ 的整数部分．

(1)、求 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的值．

(2)、求 $x + 2 y + 7 z$ 的平方根．

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4、根据已知，求值

(1)、已知 $2 x + 5 y - 3 = 0$ ，求 $4^{x} \cdot 32^{y}$ 的值．

(2)、若 ${(a^{n} \cdot b^{m} \cdot b)}^{3} = a^{15} b^{9}$ ，求 $m \cdot n$ 的值．

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5、已知 $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ， $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ， $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ，根据前面各式的规律，可得： $2^{2025} + 2^{2024} + 2^{2023} + 2^{2022} + \dots + 2^{2} + 2 + 1$ 的值的个位数字是．

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6、如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的x的值为﹣2，输出的值为﹣ $\frac{23}{2}$ ，则输入的y值为．

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7、已知 $|x - 2| + \sqrt{y - 8} = 0$ ，则 $\sqrt{x y}$ 的平方根是．

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8、已知 $a - \frac{1}{a} = - 2$ ，则 $a^{4} + \frac{1}{a^{4}} =$ ．

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9、 $2 + \sqrt{3}$ 的整数部分是．

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10、如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片 $A$ 、 $B$ ，从纸片 $A$ 的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片 $B$ 的四个顶点处．图2中已标出裁剪后 $A$ 、 $B$ 纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为 $S_{A}$ 、 $S_{B}$ （图2中阴影部分）．
小海认为： $S_{B} + S_{A} = \frac{1}{2} {(b + a)}^{2}$ ；乐乐认为： $S_{B} - S_{A} = \frac{1}{2} {(b - a)}^{2}$ ．
关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（）

A、小海正确、乐乐正确； B、小海错误、乐乐正确； C、小海正确、乐乐错误； D、小海错误、乐乐错误．

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11、若 $a + b = 6$ ， $a b = 4$ ，则 $a^{2} + 4 a b + b^{2}$ 的值为（　　）

A、44 B、46 C、48 D、52

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12、下列说法正确的是（）

A、 $- 64$ 的立方根是4 B、 $\sqrt{9}$ 的平方根是 $\pm 3$ C、4的算术平方根是16 D、0.001的立方根是0.1

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13、下列计算正确的是（）

A、 $2 x^{2} \cdot 3 x^{3} = 6 x^{5}$ B、 ${(3 x^{2})}^{3} = 9 x^{6}$ C、 $x (x + 1) = x^{2} + 1$ D、 ${(2 a - 1)}^{2} = 4 a^{2} - 1$

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14、【概念生成】定义：我们把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接圆”，如图1， $△ A B C$ ， $⊙ O$ 经过点A，并与点A的对边 $B C$ 相切于点D，则该 $⊙ O$ 就叫做 $△ A B C$ 的切接圆，根据上述定义解决下列问题：

(1)、【理解应用】已知， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 10$ ．
①如图2， $A C =$ _________．
②如图2，若点D在边 $B C$ 上， $C D = \frac{25}{4}$ ，以D为圆心， $B D$ 长为半径作圆，则 $⊙ D$ __________（填“是”或“不是”） $△ A B C$ 的“切接圆”，请证明．
③在图3中，若点D在 $△ A B C$ 的边上，以D为圆心， $C D$ 长为半径作圆，当 $⊙ D$ 是 $Rt △ A B C$ 的“切接圆”时，求 $⊙ D$ 的半径．

(2)、【思维拓展】如图4，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标为 $A (- 3, - 2)$ ， $B (3, - 2)$ ， $C (0, 2)$ ，
①判断 $△ A B C$ 的形状，并求出 $△ A B C$ 的周长；
②试说明：以抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 图像上任意一点P为圆心， $P C$ 长为半径作圆， $⊙ P$ 一定是 $△ A B C$ 的“切接圆”；
③若点P在抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 上，且 $⊙ P$ 是 $△ A B C$ 的“切接圆”，当 $⊙ P$ 的半径最小时，直接写出点P的坐标．

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15、琪琪在学习二次函数之后，想用二次函数的知识解决生活中的实际问题．她观察发现，家中有一款铁艺工艺品（厚度忽略不计），它由两个成轴对称的“花瓣”构成，图1是该工艺品的平面示意图，“花瓣”外边缘可以近似的看成抛物线形，内边缘是线段．如图2，两个“花瓣”公共顶点为O，对称轴为直线 $M N$ ，内边缘为线段 $O A, O B$ ，淇淇测得外边缘上一点C与O点水平距离为1（ $O H = 1 dm$ ）时，C点到对称轴 $M N$ 的距离为 $2 dm$ （ $C H = 2 dm$ ），A点与O点水平距离 $4 dm$ （ $O Q = 4 dm$ ），A到对称轴 $M N$ 的距离为 $2 dm$ （ $A Q = 2 dm$ ）．

(1)、如图3，以O为原点，以直线 $M N$ 为x轴，建立平面直角坐标系．
①求出对称轴 $M N$ 上方抛物线 $C_{1}$ 的解析式；
②点E在抛物线 $C_{1}$ 上，且点E到对称轴 $M N$ 的距离最大，求点E的坐标；

(2)、如图3，琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝，每条铁丝的两端分别固定在同一花瓣的内、外边缘上，且使得安装后的工艺品仍然关于直线 $M N$ 对称．琪琪说：总长 $10 dm$ 的铁丝一定够用（不考虑损耗）．你认为琪琪的说法对吗？并说明理由；

(3)、琪琪想：若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中，这个正方形托盘边长的最小值是多少呢？请直接写出这个最小值．

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16、综合与实践
【问题背景】为了对体育节4×100米接力项目的成绩进行分析研究，同学们进行了数据统计分析．
三个年级 $4 \times 100$ 米接力成绩表
年级
方差
中位数（秒）
平均数（秒）
九年级
0.57
50.63
50.58
八年级
0.68
53.18
53.22
七年级
1.14
55.02
55.02

(1)、【数据分析】比较三个年级 $4 \times 100$ 米接力成绩，你有什么发现？结合生活实际，你觉得原因可能是什么？（写出一条即可）

(2)、【进阶分析】在 $4 \times 100$ 米接力比赛中，后三棒选手可在跑动中进行交接棒，从而减少起跑加速所带来的时间损耗．因此 $4 \times 100$ 米接力比赛的时间通常小于四名参赛选手各自的100米单项用时之和．
在赛前训练过程中，同学们发现平均每次交接棒节约时间t（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）满足一次函数关系 $t = 0.1 x + 0.2$ （ $x \geq 0$ ），并且接力比赛用时满足： $4 \times 100$ 米接力成绩 $=$ 四人100米单项时间总和 $-$ 三次交接棒总节约时间
①已知九（1）班四名选手的100米单项用时总和为56.4秒，求九（1）班 $4 \times 100$ 米接力成绩y（单位：秒）与交接棒训练时长x（单位：小时）之间的函数表达式．
②九（2）班选手的100米单项用时总和比九（3）班快1.4秒，但 $4 \times 100$ 米接力成绩比九（3）班慢1.3秒，且两班的训练时间之和为13小时．求九（3）班的训练时长．

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17、某校为了解学生一分钟跳绳成绩，随机抽取部分学生进行测试，将成绩按从高到低依次划分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并绘制成尚不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）：
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、补全条形统计图；

(2)、图2中圆心角 $n =$ _________ $°$ ；本次测试成绩的中位数所在的等级为_________（填写“优秀”、“良好”、“合格”或“不合格”）；

(3)、若该校九年级共有500名学生，根据测试结果估计该校九年级跳绳成绩达到合格及以上的学生人数．

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18、如图所示，在平面直角坐标系中，三角形 $A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1, 3)$ ， $B (- 2, 1)$ ， $C (1, - 2)$ ．现将三角形 $A B C$ 向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、在图中画出三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标；

(3)、三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积为．

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19、如图，点D、E分别在 $△ A B C$ 的边 $A B 、 A C$ 上，若 $∠ A = 40 °$ ， $∠ B = 65 °$ ， $∠ A E D = 75 °$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ A B C$ ；

(2)、已知 $A D : B D = 2 : 3$ ， $A E = 3$ ，求 $A C$ 的长．

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20、计算、解方程：

(1)、 $\sqrt{4} + {(- 1)}^{2026} + |- 2|$ ；

(2)、 $4 x + 1 = 2 x - 7$ ．

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三个年级 $4 \times 100$ 米接力成绩表
年级	方差	中位数（秒）	平均数（秒）
九年级	0.57	50.63	50.58
八年级	0.68	53.18	53.22
七年级	1.14	55.02	55.02