相关试卷

1、【问题背景】如图①，在同一平面内，a、b、c 三根木棒钉在一起，∠1=70°，∠2=100°
图 ①
图 ②
图 ③
【实践操作】

(1)、木棒 a、c 固定不动，木棒 b 沿顺时针方向至少旋转，使得 b//a（如图②)，

(2)、如图③，当木棒a//b时，将一个三角板ABC放在 $a$ 与 $b$ 之间（其中 $∠ A = ∠ A B C = 45^{\circ}$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ )，并使直角顶点 $C$ 在直线 $b$ 上，顶点 $B$ 在直线 $a$ 上，现测得 $∠ D B A = 8^{\circ}$ ，请你求出 $∠ A C E$ 的度数；

(3)、现将图①中的木棒 $a$ 、 $b$ 同时沿顺时针的方向转动一周，速度分别为每秒 6° 和每秒 18° 当一根木棒停止旋转时，另一根也同时停止转动. 在旋转的过程中，存在某一时刻使得 $a / / b$ ，请你直接写出是在第几秒.

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2、规定两数 a， b 之间的一种运算，记作（a， b)，如果 $a^{c} = b$ ，那么（a， b) $= c$ .
我们叫（a，b)为“雅对”. 例如： $∵ 2^{3} = 8$ ， $∴ (2, 8) = 3$ . 我们还可以利用“雅对”定义证明等式 $(3, 3) + (3, 5) = (3, 15)$ 成立. 证明如下：
设 $(3, 3) = m, (3, 5) = n$ ，则 $3^{a} = 3, 3^{n} = 5$ .
$∴ 3^{m} \cdot 3^{n} = 3^{m + n} = 3 \times 5 = 15$ .
$∴ (3, 15) = m + n$ ，
即 $(3, 3) + (3, 5) = (3, 15)$ .

(1)、根据上述规定，填空：（3，27)= ，（-2，-32)= ，

(2)、计算：（5，2)+（5，7)= ▲ ，并说明理由：

(3)、记（3，5) = $a, (3, 10) = b, (3, 20) = c$ . 求证： $a + c = 2 b .$

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3、【问题】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？
【问题探究】已知 $∠ 1$ 的两边和 $∠ 2$ 的两边分别平行.

(1)、同学甲画出如图 1 所示的图形， $A B / / D E$ ， $B C / / E F$ ，通过测量，猜想 $∠ 1 = ∠ 2$ ，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程；

(2)、同学乙在探究中发现存在 $∠ 1 \neq ∠ 2$ 的情况，在图 2 中画出一个以点 0 为顶点且满足条件的 $∠ 2$ ，直接写出此时 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 的数量关系为；

(3)、归纳结论：如果一个角两边分别与另一个角两边平行，那么这两个角或.
【结论应用】已知 $∠ α$ 的两边分别与 $∠ β$ 的两边平行，则 $∠ α$ 和 $∠ β$ 的角平分线所在直线的位置关系是.

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4、图 1 是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组成. 图 2 是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中 BC 为转动杆 CD 为水平杆，当转动杆 BC 转动时， CD 杆始终保持水平，即 CD//AE. 已知 BA⊥AE.

(1)、如图3，当转动杆 $B C$ 转动到 $B, C^{'}, D^{'}$ 三点在同一条直线上时，BD’//AE，若 $∠ B C D = 140^{\circ}$ ，求 $∠ C B C$ 的大小；阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式).
$∵ C D / / A E, B D^{'} / / A E$ （已知)，
$∴ C D / /$ （ ▲ )（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)，
$∴ ∠ B C D +$ （ ▲ ) $= 180^{\circ}$ （ )，
$∴ ∠ C B C = 180^{\circ} - ∠ B C D = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$

(2)、如图2，在转动杆 $B C$ 转动过程中， $∠ A B C + ∠ B C D$ 的大小是否发生改变？
若变化，请说明理由；若不变，请求出它的大小。

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5、已知：如图，点D，E 分别在 $A B$ 和 $A C$ 上， $C D$ 平分 $∠ A C B, ∠ D C B = 40^{\circ}$ ， $∠ A E D = 80^{\circ}$ ，求证： DE//BC.

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6、中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图 1 是一个“九”字，如图 2 是由图 1 抽象出的几何图形，其中 $A B / / C D$ ，且 $∠ A G H = ∠ B, B C / / D E$ . 求证： $∠ A G F = ∠ D$ .
在下列括号内填写推理过程或依据：
证明： $∵ A B / / C D$ （已知)，
$∴ ∠ B = ∠ C$ （   )，
又 $∵ ∠ A G H = ∠ B$ （已知)，
$∴ ∠ C =$      ▲        （等量代换)，
又 $∵$     ▲        （已知)，
$∴ ∠ C + ∠ D = 180^{\circ}$ （   )，
又 $∵ ∠ A G H +$      ▲         $= 180^{\circ}$ （平角的定义)，
$∴ ∠ A G F = ∠ D$ （   ).

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7、计算：

(1)、 $(- m) \cdot {(- m)}^{3}$

(2)、 $x + x^{3} - {(x^{2})}^{3}$

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8、将两块不同的三角尺按如图 1 所示的方式摆放，AC 边重合， $∠ B A C = 45^{\circ} ， ∠ D A C = 30^{\circ}$ . 保持三角尺 ABC 不动（如图 2)，将三角尺 ACD 绕着点 C 顺时针转动 $90^{\circ}$ 后停止. 在转动的过程中当三角尺 ACD 有一条边与三角尺 ABC 的一条边恰好平行时， $∠ A C A^{'}$ 的度数为

图1

图2

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9、如图，运河堤公路沿高邮湖边修建时，需要拐弯绕道而过，经过三次拐弯，这时的公路 DE 恰好与第一次拐弯前的公路 AB 平行，若 $∠ 3 - ∠ 1 = 30^{\circ}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为。

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10、如图，将长方形纸条折叠，若 $∠ 1 = 50^{\circ}$ ，则 $∠ 2 =$ 。

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11、投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏. 如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜. 若四位投壶者分别站在直线 1 上的点 A， B， C， D 处往点 P 处的壶内投箭矢，小明认为站在点 C 处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是.

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12、如图所示，刘师傅为了检验门框 AB 是否垂直于水平地面，在门框 AB 的上端 A 处用细线悬挂一铅锤，看门框 AB 是否与铅锤线重合. 若门框 AB 垂直于地面，则 AB 会重合于 AE，否则 AB 与 AE 不重合.下面可以说明这个道理的数学知识是（ )

A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B、经过两点有且只有一条直线 C、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

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13、某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务. 如图是共享单车示意图，AM//BC. 已知 $∠ M A C = 74^{\circ}$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（ )

A、50° B、56° C、70° D、 $74^{\circ}$

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14、如图，下列条件中，不能判断 $A B / / C D$ 的是（ )

A、 $∠ 1 = ∠ C$ B、 $∠ B A C + ∠ C = 180^{\circ}$ C、 $∠ 2 = ∠ C$ D、 $∠ A B E + ∠ 2 = 180^{\circ}$

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15、如图， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，CD⊥AB，垂足为点D，则点C到直线AB的距离是（ )

A、线段 AC 的长度 B、线段 CB 的长度 C、线段 CD 的长度 D、线段 AD 的长度

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16、计算 $m^{2} \cdot m^{3}$ 的结果，正确的是（ )

A、m B、 $m^{5}$ C、 $m^{6}$ D、 $m^{9}$

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17、已知 $α$ 与 $β$ 互为余角，若 $α = 20^{\circ}$ ，则 $β$ 的补角的大小为（ )

A、 $70^{\circ}$ B、110° C、140° D、 $160^{\circ}$

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18、已知，在△ABC中， AB=AC，将边CB绕点C顺时针旋转得CD，使A、D两点在直线BC的同侧，连接AD， BD， ∠BAC=∠BDC，过点A作AE⊥BD于点E.

(1)、如图1，若∠BCD=2∠ACD，求∠ACD 的度数；

(2)、如图2，若∠BCD<∠ACB，猜想线段CD、BD、DE三者之间的数量关系并证明；

(3)、如图3，若 $∠ B C D > ∠ A C B, D E = \sqrt{2} - 1, B C = 2,$ 请直接写出△ABC的面积.

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19、解决多边形问题：

(1)、一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形?

(2)、小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形?

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20、解不等式（组)：

(1)、 $1 - \frac{2 x - 4}{3} \geq \frac{1 - 5 x}{2},$ 并把解集在数轴上表示出来；

(2)、解不等式组 ${\begin{matrix} 4 x - 3 \geq 3 （ x - 2) ① \\ \frac{x - 5}{2} + 4 > x ② \end{matrix},$ 并写出它的整数解.

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