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1、下列计算中正确的有（）个
① $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ ；② ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ ；③ $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ ；④ $2^{- 1} = - 2$ ；⑤ $(π - 3)^{0} = 1$ ；⑥ $3^{2} = 6$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：32，35，29，33，40，35，则这组数据的中位数和众数分别是（）

A、35，35 B、34，33 C、34，35 D、35，34

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3、 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ （ $90 ° < α < 180 °$ ），点 $P$ 为线段 $A C$ 上一动点，点 $E$ 为射线 $C D$ 上一点， $A B = k C E$ （ $k$ 为常数），且 $∠ A C D = α$ ．

(1)、如图1， $P C = 2 A P$ 时，若 $△ A P B ∽ △ C E P$ ，请求出 $k$ 的值．

(2)、如图2，线段 $A C$ 上是否只存在唯一的点 $P$ ，使 $△ A P B ∽ △ C E P$ ，若存在，请求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、如图3，若 $α = 120 °$ ， $A B = 8$ ，作 $∠ B P Q = 120 °$ ， $P Q$ 与线段 $B C$ 交于点 $Q$ ，当点 $P$ 从点 $A$ 运动到点 $C$ 时，请求出点 $Q$ 的运动路径长．

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4、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = 2 x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴右侧的 $x$ 轴上，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{3}{2} x + c (a \neq 0)$ 经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，顶点为 $D$ ．

(1)、求抛物线的解析式及点 $B$ ， $D$ 的坐标；

(2)、点 $P$ 在直线 $A C$ 上运动，当 $△ B D P$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、探究在 $△ A B C$ 内部能否截出面积最大的矩形 $E F G H$ （顶点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 在 $△ A B C$ 各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在 $A B$ 边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．

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5、某天 $7 : 30$ ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 $8 : 30$ 的动车．记汽车的行驶时间为 $t$ （单位： $h$ ），行驶的平均速度为 $v$ （单位： $k m / h$ ）， $v \leq 60 k m / h$ ．根据经验， $v$ ， $t$ 的对应值如表：
$v / (k m / h)$
…
20
30
40
50
60
$t / h$
…
0.6
0.4
0.3
0.24
0.2

(1)、求平均速度 $v$ 关于行驶时间 $t$ 的函数解析式．

(2)、已知小芳从开始打车到上车用了 $10 m i n$ ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 $32 k m / h$ ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由．

(3)、若汽车到达火车站的行驶时间 $t$ 满足 $0.3 \leq t \leq 0.5$ ，求平均速度 $v$ 的范围．

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6、综合与实践：在老师的指导下，同学们利用课余时间进行测量活动．
【活动主题】篮球架的结构；
【测量工具】皮尺、测角仪、计算器等；
篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱 $B C$ 垂直地面 $D I$ ，横梁 $E F$ 平行地面 $D I$ ，篮筐 $F G$ 与横梁 $E F$ 在同一直线上，点B、C、D在同一条垂直于地面的直线上．
【测绘过程与数据信息】
①用测角仪在 $A$ 处测得后拉杆 $A B$ 与水平面的夹角 $∠ B A C = 70 °$ ，在 $B$ 处测得伸臂 $B E$ 与水平面的夹角 $∠ E B H = 35 °$ ；
②用皮尺测得后拉杆 $A B$ 的长为 $2 m$ ，伸臂 $B E$ 的长为 $1.5 m$ ，底部箱体的高度（ $C D$ ）为 $0.4 m$ ；
③用计算器计算得到： $s i n 70 ° \approx 0.94$ ， $c o s 70 ° \approx 0.34$ ， $t a n 70 ° \approx 2.75$ ， $s i n 35 ° \approx 0.57$ ， $c o s 35 ° \approx 0.82$ ， $t a n 35 ° \approx 0.70$ ．
【解决问题】请根据提供的信息，解决下列问题（结果精确到 $0.01 m$ ）

(1)、求立柱 $B C$ 的高度；

(2)、已知小强站立时手臂向上伸直，指尖距地面高度为2.5米，若他想摸到篮筐（ $F G$ ），则他至少需要跳起多高？

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的⊙ $O$ 与 $B C$ 交于点 $D$ ，连接 $A D$ ．

(1)、求证： $B D = C D$ ；

(2)、若⊙ $O$ 与 $A C$ 相切，求 $∠ B$ 的度数；

(3)、用无刻度的直尺和圆规作出劣弧 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点 $E$ ．（不写作法，保留作图痕迹）

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8、已知 $T = {(a - b)}^{2} - a (a + b) - b^{2}$ ．

(1)、化简 $T$ ；

(2)、若 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} + x - 6 = 0$ 的两个根，求 $T$ 的值．

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9、如图，点A、B、D、E在同一条直线上， $A B = D E, A C / / D F, B C / / E F$ ．求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ．

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10、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点E在边 $A D$ 上运动（不与点A、D重合）， $∠ C D P = 45 °$ ，点F在射线 $D P$ 上，且 $A E : D F = 1 : \sqrt{2}$ ，连接 $B F$ ，交 $C D$ 于点G，连接 $E B 、 E F 、 E G$ ．下列结论：① $s i n ∠ B F E = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；② $A E^{2} + C G^{2} = E G^{2}$ ；③ $△ D E F$ 的面积最大值是2；④若 $A E = \frac{1}{3} A D$ ，则点G是线段 $C D$ 的中点．其中正确结论的序号是．

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11、将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心 $O$ 重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于 $A$ 、 $B$ 两点．若 $O A = 6$ 厘米，则 $\overset{⏜}{A B}$ 的长度为厘米．（结果保留 $π$ ）

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12、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值是．

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13、如图，菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A B = 2 \sqrt{5} c m$ ， $A C = 4 c m$ ，则 $B D$ 的长为cm．

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14、分解因式： $x^{2} - 8 x =$ ．

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15、如图，在“探索二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点： $A (0,1)$ ， $B (2, 1)$ ， $C (4, 1)$ ， $D (3, 2)$ ．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当 $a + b + c$ 取得最大值时，图象经过这四个点中的（）

A、 $A B C$ B、 $A B D$ C、 $A C D$ D、 $B C D$

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16、如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和 $24 m$ 长的围栏围成一个面积为 $40 m^{2}$ 的矩形场地．设矩形的宽为 $x m$ ，根据题意可列方程（）

A、 $x (24 - 2 x) = 40$ B、 $x (24 - x) = 40$ C、 $2 x (24 - 2 x) = 40$ D、 $2 x (24 - x) = 40$

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17、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、等边三角形 B、正方形 C、平行四边形 D、正五边形

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18、抛物线 $y = - x^{2} + b x$ 与 $x$ 轴交于原点和点 $A (4, 0)$ ，点 $B$ 为抛物线的顶点，点 $M (m, y_{1})$ ， $N (m + 3, y_{2})$ 为抛物线 $y = - x^{2} + b x$ 上不重合的两个点．

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、试判断是否存在实数 $m$ 使得 $2 y_{1} + y_{2} = 9$ ？若存在，求出 $m$ 值；若不存在，请说明理由；

(3)、记点 $M$ ， $N$ 两点之间的部分（包括 $M$ ， $N$ 两点）为图象 $G$ ，点 $B$ 在图象 $G$ 上，设图象 $G$ 的最高点与最低点的纵坐标之差为 $d$ ．
①求 $d$ 与 $m$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $m$ 的取值范围；
②图象 $G$ 上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点 $P$ ，再以最低点与点 $P$ 的连线为边向其上方作正方形，点 $B$ 到正方形边的最小距离记为 $f$ ．当点 $O$ 在该正方形内部，点 $B$ 在该正方形外部，且 $f = \frac{3}{2}$ 时，直接写出 $m$ 的值．

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19、某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（ $pH$ 值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位： $cm$ ），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析．下面给出了部分信息：
a．不同酸碱度（ $pH$ 值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下：
b．酸碱度（ $pH$ 值）为6和6.3的土壤中蒜苗高度的数据如表：
土壤的酸碱度（ $pH$ 值）
蒜苗高度 $/cm$
平均数 $/cm$
中位数 $/cm$
6
13.6
12.8
14
12.8
12.9
12.7
13.3
13.5
13.2
n
6.3
12.8
11.9
11.7
12.5
11.3
13.3
12.3
12.6
m
12.4
c．不同酸碱度（ $pH$ 值）的土壤中蒜苗高度的方差如表：
$pH$ 值
5
6
6.3
6.8
8
10
方差
0.381
0.195
0.3625
0.364
0.425
0.4332
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、请直接写出m，n的值，并补全条形统计图．

(2)、根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（ $pH$ 值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于 $13cm$ 的蒜苗有多少株．

(3)、请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（ $pH$ 值）对蒜苗生长高度的影响．

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20、先化简 $(1 - a + \frac{3}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，再从 $- 2, - 1, 0, 1, 2$ 中取一个数代入求值．

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土壤的酸碱度（ $pH$ 值）	蒜苗高度 $/cm$								平均数 $/cm$	中位数 $/cm$
6	13.6	12.8	14	12.8	12.9	12.7	13.3	13.5	13.2	n
6.3	12.8	11.9	11.7	12.5	11.3	13.3	12.3	12.6	m	12.4

$v / (k m / h)$	…	20	30	40	50	60
$t / h$	…	0.6	0.4	0.3	0.24	0.2

$pH$ 值	5	6	6.3	6.8	8	10
方差	0.381	0.195	0.3625	0.364	0.425	0.4332