相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高线， $C E$ 是 $A B$ 边上的中线， $D G ⊥ C E$ 于点 $G$ ， $C D = A E$ ．若 $B D = 8, C D = 5$ ，则 $△ D C G$ 的面积是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{15}{2}$ D、 $\frac{15}{4}$

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2、如图，在等边三角形 $A B C$ 中，点 $E$ 在 $A C$ 边上，点 $F$ 在 $A B$ 边上，沿 $E F$ 折叠，使点 $A$ 落在 $B C$ 边上 $D$ 位置．若 $A E = 6$ ，且 $E D ⊥ B C$ ．则 $B F$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} + 3$ C、5 D、 $6 - \sqrt{3}$

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，且 $D E = B E = \frac{1}{2} A B$ ，则 $∠ C$ 的度数是（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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4、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 5$ ， $B C = 12$ ，平面上有一点 $P$ ， $A P = 1$ ，连接 $A P$ ， $B P$ ，取 $B P$ 的中点 $G$ ．连接 $C G$ ，在 $A P$ 绕点 $A$ 的旋转过程中，则 $C G$ 的最大值是（）

A、7 B、7.5 C、 $\sqrt{42}$ D、14

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5、若 $\sqrt{8}$ 与最简二次根式 $\sqrt{m + 1}$ 能合并，则 $m$ 的值为．

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6、分解因式： $b^{2} - 10 b + 25 =$ ．

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7、古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实.2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（）

A、 $0.54 \times 10^{9}$ B、 $5.4 \times 10^{7}$ C、 $5.4 \times 10^{8}$ D、 $54 \times 10^{7}$

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8、如图所示，抛物线的解析式为 $y = - x^{2} + (2 k + 5) x - k^{2} - 4 k + 2$ ．

(1)、若抛物线经过点 $C (0, 6)$ ，求抛物线的解析式；

(2)、在（1）的条件下，抛物线与x轴相交于 $A 、 B$ 两点（点A在点B的左侧），若将直线 $A C$ 绕点A按顺时针方向旋转 $45 °$ 后与抛物线相交于点P，求点P的坐标；

(3)、如图1所示，若直线 $y = x + 2$ 与抛物线相交于 $M 、 N$ 两点（M在N的左侧）O为坐标系原点，直接写出 $O M + O N$ 的最小值．

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9、如图， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径， $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $A C$ 并延长到点 $D$ ，使 $A C = C D$ ， $E$ 是 $O B$ 的中点，连接 $C E$ 并延长交 $D B$ 延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A F$ 交 $⊙ O$ 于点 $H$ ，连接 $B F$ ，且 $A O = 2$ ，求 $B H$ 的长．

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10、为深入挖掘中华优秀传统文化底蕴，丰富广大群众精神文化生活，罗江区3月3日举办了“闹元宵”系列活动，为了筹备原创民俗《潺舞》，表演团队需要采买服装甲、乙，某服装经销商计划购进甲、乙两种服装销售，已知购进服装甲和服装乙分别需要 $3600$ 元、 $2400$ 元，且购进服装乙的件数是服装甲的件数的 $\frac{5}{6}$ ，每件服装甲的进价比每件服装乙的进价多 $12$ 元．

(1)、服装甲、服装乙每件进价分别是多少元？

(2)、若服装甲以每件 $72$ 元的价格出售，每天可售出 $30$ 件，通过调查发现，服装甲每件的售价每降低 $1$ 元，每天可多售出 $5$ 件．当服装甲以每件多少元出售时，服装甲每天的销售利润最大？并求出最大利润．

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11、综合与探究．
【问题背景】
（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为 $▱ A B C D$ 的边 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ， $C E$ ，请探究 $△ B C E$ 的面积与 $▱ A B C D$ 面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现： $▱ A B C D$ 的面积等于 $△ B C E$ 面积的2倍．请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】
（2）如图2，长方形 $A B C D$ 中，点E为 $B C$ 边上一点，点F为 $C D$ 右侧一点， $∠ A E F = ∠ E F D = 90 °$ ，若 $A D = 10$ ， $A E = 15$ ， $E F = 8$ ，求 $A B$ 的长；
【深入思考】
（3）如图3， $▱ A B C D$ 中，点E为 $B C$ 边上一点，点F为 $C D$ 边上一点，连接 $D E$ ， $B F$ 交于点G，连接 $A G$ ，若 $B F = D E$ ，证明： $A G$ 平分 $∠ B G D$ ．

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12、计算与化简求值

(1)、 $- 1^{2026} - |\sqrt{3} - 2| + \sin 60 °$ ；

(2)、 $(x + 1 - \frac{8}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x - 1}$ ，其中 $x = - 2$ ．

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13、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $A E$ 、 $D E$ ， $F$ 为 $A E$ 上的动点，连接 $D F$ ， $G$ 为 $D F$ 的中点，连接 $B G$ ，则 $B G$ 的最小值是．

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14、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图像交 $x$ 轴于点 $A (- 4, 0)$ 、 $B (2, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．以下结论：① $4 a + 2 b + c = 0$ ；② $2 a - b + c < 0$ ；③当以点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为顶点的三角形是等腰三角形时， $c = 2 \sqrt{5}$ ；④当 $c = 4$ 时，在 $△ B O C$ 内有一动点 $P$ ，若 $O P = \sqrt{2}$ ，则 $C P + \frac{\sqrt{2}}{2} B P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{17}}{4}$ ．其中正确结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15、给定一列数，我们把这列数中第一个数记为 $a_{1}$ ，第二个数记为 $a_{2}$ ，第三个数记为 $a_{3}$ ，以此类推，第 $n$ 个数记为 $a_{n}$ （ $n$ 为正整数），已知 $a_{1} = x$ ．并规定： $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}$ ， $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \dots a_{n}$ ， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ．则① $a_{2} = a_{5}$ ；② $T_{1} + T_{2} + T_{3} + \dots + T_{100} = \frac{2 x - 1}{1 - x}$ ；③对于任意正整数 $k$ ， $T_{3 k + 3} (S_{3 k} - S_{3 k + 2}) = T_{3 k} - T_{3 k - 1} - T_{3 k - 2}$ 成立，以上结论中正确的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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16、水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点 $A$ 处放空水，同时有1个水斗刚好在点 $B$ 处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径 $O A$ 为 $5 m$ ，点 $A$ 到水面的距离为 $7 m$ ，则水面宽度 $C B$ 为（）

A、 $6 m$ B、 $7 m$ C、 $6 m$ 或 $8 m$ D、 $7 m$ 或 $8 m$

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17、如图， $A C$ ， $B D$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $∠ B D E = 30 °$ ， $D E = \sqrt{3}$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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18、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$

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19、我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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20、动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论.
小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究：
三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中 $∠ A C B = ∠ E D F = 9 0^{\circ}, ∠ B A C = 3 0^{\circ}, ∠ D E F = 4 5^{\circ}$ ， GH∥MN，点A，B在直线GH上，点E，F在直线MN上.

(1)、【操作一】小宁固定三角板ABC不动，小周将三角板DEF绕点E以每秒 $3^{\circ}$ 的速度逆时针旋转，设时间为t秒，且0≤t≤60.
当DF与AB平行时，则t的值为；

(2)、当DF与AC平行时，求t的值；

(3)、【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板DEF绕点E以每秒 $3^{\circ}$ 的速度逆时针旋转，小宁将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且 $0 \leq t \leq 60$ ，当DF与BC平行时，则t的值为。

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