相关试卷

1、
问题提出
（1）如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 50 °$ ，将其折叠，使点B落在 $A C$ 边上的 $B^{'}$ 处，折痕经过点C，交 $A B$ 于点D．则 $∠ B^{'} D C$ 的度数为______；
问题探究
（2）如图2，正方形 $A B C D$ 的一条对称轴l交 $C D$ 于点H，点E在l上，连接 $A E$ 、 $B E$ 、 $C E$ 、 $D E$ ．若正方形 $A B C D$ 的边长为4， $B E = B C$ ，求线段 $E H$ 的长．
问题解决
（3）如图3．有一块三角形空地 $A B C$ 经测量， $A C = B C = 45$ 米， $∠ A C B = 90 °$ ．现要过点C修建一条小路 $P C$ ，满足 $45 ° < ∠ A C P < 90 °$ ，点A关于 $P C$ 的对称点为D．连接 $D A$ 、 $D B$ ． $D B$ 交 $P C$ 于点E．若 $B E = 35$ 米，请利用所学知识，求 $D E$ 的长．

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2、已知抛物线 $y = x^{2} - 2 t x + 1$ ．

(1)、当 $t = 3$ 时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)、若该抛物线上任意两点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 都满足：当 $x_{1} < x_{2} < 1$ 时， $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) < 0$ ，当 $1 < x_{1} < x_{2}$ 时， $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) > 0$ ，试判断点 $(4, 10)$ 是否在抛物线上；

(3)、 $P (t + 1, y_{1})$ ， $Q (2 t - 4, y_{2})$ 是抛物线 $y = x^{2} - 2 t x + 1$ 上的两点，且总满足 $y_{1} \geq y_{2}$ ，求t的最值．

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3、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $B F$ 切 $⊙ O$ 于点B， $A F$ 交 $⊙ O$ 于点D，点C在 $D F$ 上， $B C$ 交 $⊙ O$ 于点E．且 $∠ B A F = 2 ∠ C B F$ ， $C G ⊥ B F$ 于点G．连接 $A E$ ．

(1)、求证： $△ B C G ∽ △ A C E$ ；

(2)、若 $∠ F = 30 °$ ， $G F = 2 \sqrt{3}$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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4、现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面 $2$ 米，洞口直径 $B C = 20$ 厘米．当光照进屋内，有一条长 $0.7$ 米的透光长度 $A E$ ，且 $\tan β = \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $α$ 的大小；

(2)、为使透光长度增大一些，将小洞最高点 $B$ 向上移了 $20$ 厘米到达 $F$ 处，隔壁灯光光线 $P F$ 与墙壁 $F D$ 所在直线的夹角（锐角）为 $60 °$ ，求透光长度多少？ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果保留两位小数）

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5、如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图像上，点D的坐标为 $(8, 6)$ ．

(1)、求反比例函数的关系式；

(2)、设点M在反比例函数的图象 $(x > 0)$ 上，连接 $M A, M D$ ，若 $△ M A D$ 的面积是菱形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{2}$ ，求M点的坐标．

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6、为了提高学生的物理知识水平，某校随机抽取了部分学生参加物理知识竞赛，参赛学生均获奖，获奖结果分为四个等级：A级为一等奖，B级为二等奖，C级为三等奖，D级为参与奖，现将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题．
学生获奖结果条形统计图

(1)、求本次抽样测试的人数，并补全条形统计图；

(2)、若全校有2400名学生参赛，请估计该校能获得一、二等奖的学生共有多少人？

(3)、本次竞赛获前五名的同学，有两名女生，三名男生，要通过演讲比赛推选出1位参加区级竞赛的选手，现抽签决定演讲顺序（顺序号为1，2，3，4，5号）．两名女生先抽，请用列表或画树状图的方法，求两名女生抽到的演讲顺序号恰好相邻的概率．

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7、已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k + 1) x + k^{2} = 0$ 的两实根，且 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = 6$ ，求 $2 k$ 的值．

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8、化简： $(\frac{6}{2 a - 2} - \frac{2 a + 3}{a^{2} - 1}) \div \frac{a}{a - 1}$

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9、在平面直角坐标系中，对于点 $P (x, y)$ ，我们把点 $P^{'} (y - 1, x + 1)$ 叫做点 $P$ 的“友好点”．已知点 $A$ 的“友好点”在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图像上，且点 $A$ 在直线 $y = x + 1$ 上，则点 $A$ 的坐标为．

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10、在平面直角坐标系中，点 $A (0, 2)$ ， $B (4, 0)$ ，点P是直线 $y = 2 x$ 上一动点，则 $P A + P B$ 的最小值．

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11、在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且 $|a| = 2$ ， $|b| = 5$ ，若点A在点B的左侧，则 $a - b$ 的值为．

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12、若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，写出一个符合条件整数k的值．

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13、在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ 与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若 $△ A B C$ 为直角三角形，则m的值为（）

A、 $\pm 3$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、0 D、 $\pm 2$

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14、对于实数a、b，定义新运算“*”： $a * b = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，若关于x的方程 $(x + 1) * (x - 2) = k$ 有实数根，且根为整数，则整数k的个数为（）

A、2个 B、1个 C、4个 D、5个

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15、已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 2 m$ 的图像与x轴交于A、B两点，顶点为P．且 $△ A B P$ 是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则m的值为（）

A、0.5 B、2 C、3 D、0.4

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16、对于抛物线 $y = 7 {(x - 2)}^{2} - 1$ ，下列说法正确的是（）

A、可由抛物线 $y = 7 x^{2} - 1$ 向左平移2个单位长度得到 B、当 $x > 2$ 时，y随x的增大而增大 C、与y轴无交点 D、顶点坐标是 $(- 2, - 1)$

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17、在数轴上，点P表示的数为x，点Q表示的数为 $2 x + 1$ ，且 $P Q = 4$ ，则所有满足条件的x的和为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、1

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18、如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第20个图案中三角形的个数是（）

A、88 B、78 C、68 D、58

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19、2023年工作报告指出，要建立未来产业投入增长机制，化工制造、芯片科技、智能科技、5G等未来产业，明明和小丽分别对“智能科技”和“芯片科技”最感兴趣，若将报告中的四个产业依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，抽到的两张卡片恰好是“芯片科技”和“智能科技”的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{7}$

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20、2025年太原实现社会消费品零售总额9213.2亿元，网络零售额1320.1亿元．将数据9213.2用科学记数法表示为（）

A、 $9.2132 \times 10^{8}$ B、 $9.2132 \times 10^{9}$ C、 $9.2132 \times 10^{4}$ D、 $9.2132 \times 10^{3}$

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