相关试卷

1、如图1，已知菱形 $A B C D$ 和菱形 $C E F G$ 的边长分别为 $a, b$ ，点 $B, C, E$ 在同一条直线上，点 $G$ 在 $C D$ 边上，连接 $A F$ ．

(1)、如图1，当 $∠ B = 90 °$ 时，连接 $A C$ ， $C F$ ， $D F$ ．把四边形 $A B C D$ 、 $△ A C F$ 和 $△ A D F$ 的面积分别记作 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3}$ ，则① $S_{2} =$ _____， $S_{3} =$ _____（用含 $a, b$ 的代数式表示）
②请直接写出 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3}$ 满足的关系式：_____；

(2)、如图2，当 $∠ B = 90 °$ 时，点 $P$ 是 $A F$ 的中点，连接 $P D$ ， $P G$ ．请判断 $△ P D G$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图3，当 $∠ B = 120 °$ 时，点 $P$ 是 $A F$ 的中点，连接 $P D$ ， $P G$ ．
①用含 $a, b$ 的代数式表示 $P D$ ；②连接 $P C, D F$ ，四边形 $P C F D$ 可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时 $a, b$ 满足什么关系；若不可能，请说明理由．

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2、我们知道 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 可以写成 ${(a \pm b)}^{2}$ 的形式，所以我们把 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数 $a, b$ ，因为 $a \pm 2 \sqrt{a b} + b = {(\sqrt{a})}^{2} \pm 2 \sqrt{a b} + {(\sqrt{b})}^{2} = {(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})}^{2}$ ，所以我们把 $a \pm 2 \sqrt{a b} + b$ 叫做“完全平方根式”．

(1)、下列各式中是“完全平方根式”的有_____；
① $1 + 2 \sqrt{3} + 3$ ② $5 + \sqrt{10} + 2$ ③ $6 - 4 \sqrt{6} + 4$

(2)、利用“完全平方根式”化简： $\sqrt{7 + 2 \sqrt{6}} + \sqrt{14 - 8 \sqrt{3}}$ ；

(3)、已知 $A = \sqrt{a + 4 \sqrt{3} + b}$ （ $a > b$ ，且 $a, b$ 为正整数）， $a + 4 \sqrt{3} + b$ 是“完全平方根式”，当 $A$ 的值最小时：①求出这个最小值；②若 $B = \sqrt{\frac{\sqrt{a} x}{A} + \frac{\sqrt{b} y}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}}$ （ $x, y$ 为正整数）， $B$ 是整数，且 $B < A^{2} + 1$ ，求 $\sqrt{x + y + x y}$ 的值．

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3、如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，点 $F$ 是 $O B$ 的一点， $B F = 2 O F$ ，延长 $A F$ 至点 $G$ ，使 $F G = A F, A G$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $C F, C G, B G$ ．

(1)、求证：四边形 $C F B G$ 是平行四边形；

(2)、若 $C F ⊥ B D, A D = 4$ ，求 $F G$ 和 $A B$ 的长度．

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4、湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是 $20 km$ ．他们离家的路程 $s$ （单位： $km$ ）与骑行时间 $t$ （单位： $h$ ）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行．

(1)、求小山爸爸骑行的速度；

(2)、小山在途中休息了多长时间？

(3)、小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？

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5、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 的中点，延长 $B E$ ， $C D$ 交于点 $F$ ，连接 $A F$ ， $B D$ ．

(1)、求证： $A B = D F$ ；

(2)、若 $B F = B C, C D = 6, B D = 8$ ，求 $A D$ 的长．

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6、如图，某社区有一块四边形空地 $A B C D$ ，计划用来种植草皮．经测量得到以下数据： $A B = 15 m$ ， $C D = 8 m$ ， $A D = 17 m$ ，从点 $A$ 到 $B C$ 边的距离 $A E = 12 m$ （垂足为 $E$ ）， $E$ 恰好是 $B C$ 的中点．已知购买草皮的价格为每平方米50元．

(1)、求边 $B C$ 的长；

(2)、请你帮社区算一算购买草皮的费用为多少元？

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7、已知 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 4$ ，求 $\sqrt{x y} - \sqrt{\frac{x}{y}}$ 的值．

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8、计算题

(1)、 $\sqrt{8} - \sqrt{32} + \sqrt{\frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \div 3 \sqrt{2}$ ；

(3)、 $\sqrt{27} \times \sqrt{\frac{2}{3}} - (\sqrt{54} - \sqrt{12}) \div \sqrt{6}$ ．

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9、水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系：
时间/ $min$
1
2
3
4
5
6
水的高度/ $cm$
1.5
3
4.5
6
7.5
9
当时间为10分钟时，容器中水的高度为 $cm$ ．

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10、在生活中，我们经常会看到这种为抄近道而踩踏草坪的不文明现象．我们从实物图中抽象出如图所示的 $△ A O B$ ，其中 $O A, O B$ 表示两条互相垂直的小路， $A B$ 表示在草坪上踩踏出来的“小路”．经测量得 $O A = 6 m$ ， $O B = 8 m$ ，那么抄近道 $A B$ 可以少走 $m$ ．多走几小步，文明一大步！让我们做文明的使者，敢于向不文明行为说 $N o$ ！

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11、荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索 $A D$ 的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度 $D E = 0.5 m$ ，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为 $3 m$ ，即 $B C = 3 m$ 此时秋千踏板离地面的垂直高度 $B F = 1.5 m$ ．那么，绳索 $A D$ 的长度为（）

A、 $3 m$ B、 $4 m$ C、 $5 m$ D、 $\sqrt{5} m$

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12、如图，在数轴上，点 $A$ 对应的数是 $- 2$ ，点 $C$ 对应的数是0，线段 $A B ⊥ A C$ 于点 $A$ ，且线段 $A B$ 长为1个单位长度，若以点 $C$ 为圆心， $B C$ 长为半径的弧交数轴于点 $P$ ，则点 $P$ 表示的数为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 - \sqrt{5}$

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13、下列各式中，不正确的是（）

A、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$ B、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{{(- 4)}^{2}} = 4$ D、 $\sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$

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14、在 $△ A B C$ 中 $a, b, c$ 分别是 $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边，下列条件中，不能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $a = 5, b = 12, c = 13$ B、 $a = 1, b = \sqrt{2}, c = \sqrt{3}$ C、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$ D、 $∠ A - ∠ B = ∠ C$

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15、汽车油箱中有汽油 $50L$ ，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量 $y$ （单位： $L$ ）随行驶路程 $x$ （单位： $km$ ）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油 $0.1 L$ ．当 $0 \leq x \leq 500$ 时， $y$ 与 $x$ 的函数关系式为（）

A、 $y = 0.1 x$ B、 $y = \frac{50}{x}$ C、 $y = 50 - 0.1 x$ D、 $y = 50 - x$

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16、下列二次根式，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{0.5}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{8}}$

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17、解答下列各题：

(1)、【提出问题】如图1，已知 $A B ∥ C D$ ，线段 $E F ， E C ， D H$ 分别与 $A B$ 交于点A，G，B， $∠ F A G = ∠ D$ ，
求证： $E F ∥ D H$ ；

(2)、【深入探究】
如图2， $A B ∥ C D$ ，连接 $A C ， A D$ 并延长至点F，点E，延长 $B A$ 至点G，连接 $D B$ 并延长至点H，且 $A F ∥ D H$ ， $A F$ 平分 $∠ G A E$ ，若 $∠ A D C = 64 °$ ，求 $∠ A B H$ 的度数；

(3)、【拓展探究】
如图3，某厂区进行管道铺设施工，设计有三条主输送管道，分别为管道 $H B$ 、管道 $E N$ 、管道 $C D$ ，满足 $H B ∥ C D$ ， $E N ∥ H B$ ．支管道 $E C$ 与检修通道 $A B$ 交汇于接口A，支管道 $E B$ 向外延长形成接口F．在检修通道 $A B$ 上的接口G处，额外铺设一条连接到D接口的支管 $D G$ ，满足 $G D ∥ B F$ ．施工人员需要确定转角 $∠ A G D$ 、接口转角 $∠ C E F$ 以及管道转角 $∠ E C D$ 之间的数量关系，从而精准控制焊接角度，保证管道对接密封．请你帮该厂探索 $∠ A G D$ ， $∠ C E F$ ， $∠ E C D$ 之间的数量关系，并说明理由．

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18、对于平面直角坐标系 $x O y$ 中的点 $P (a, b)$ ，若点 $P^{'}$ 的坐标为 $(a + k b, b + \frac{a}{k})$ （其中 $k$ 为常数， $k \neq 0$ ），则称点 $P^{'}$ 为点 $P$ 的“ $k$ 系友好点”；例如： $P (3, 2)$ 的“3系友好点”为 $P^{'} (3 + 3 \times 2, 2 + \frac{3}{3})$ ，即 $P^{'} : (9, 3)$
请完成下列各题：

(1)、求点 $P (- 2, 1)$ 的“2系友好点” $P^{'}$ 的坐标为；

(2)、若点 $P (6, 3)$ 的“ $k$ 系友好点” $P^{'}$ 的坐标为 $(- 3, n)$ ，求 $k$ 和 $n$ 的值；

(3)、若点 $P$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $P$ 的“ $k$ 系友好点”为点 $P^{'}$ ，若在 $△ O P P^{'}$ 中， $P P^{'} = 2 O P$ ，求 $k$ 的值．

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19、如图所示，把三角形ABC放在直角坐标系中，现将三角形 $A B C$ 向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(1)、在图中画出三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、写出 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标．

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20、已知 $2 a + 1$ 的算术平方根是 $3$ ， $3 a + 2 b - 1$ 的立方根是 $2$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $a + 2 b$ 的平方根．

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时间/ $min$	1	2	3	4	5	6
水的高度/ $cm$	1.5	3	4.5	6	7.5	9