相关试卷

1、下列各数中，是无理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、3.14 C、 $\sqrt{9}$ D、 $- \frac{11}{6}$

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2、数学活动课上，老师让同学们利用一副三角尺摆图形并提出一些数学问题．已知，如图1，这副三角尺有以下特征：
① $∠ C = ∠ F = 90 °$ ， $∠ A = ∠ B = 45 °$ ， $∠ D = 30 °$ ， $∠ E = 60 °$ ；
②点C到 $A B$ 的距离与点F到 $D E$ 的距离相等．
请你解决甲、乙、丙三位同学提出的问题：

(1)、甲同学：如图2，将两个三角尺重叠摆放，使点A与点F重合，点E在 $A C$ 上， $A B$ 与 $D E$ 相交于点G，求 $∠ B G D$ 的度数．

(2)、乙同学：如图3，将三角尺 $A B C$ 的直角顶点放在直线 $M N$ 上，使 $A B ∥ M N$ ，三角尺 $D E F$ 的顶点E放在直线 $M N$ 上， $D F$ 与 $A B$ 相交于点P，则 $∠ D E M$ 与 $∠ D P B$ 有怎样的数量关系？请说明理由．

(3)、丙同学：如图4，三角尺 $D E F$ 固定不动，转动三角尺 $A B C$ 的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合，当点A在直线 $E C$ 的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出 $∠ A C E$ 的度数（写出所有可能的情况）．

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3、在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2026年4月份的月历，我们任意选择两组“Z”字形方框，将每个“Z”字形方框4个位置上的数交叉相乘，再相减．
如： $6 \times 15 - 7 \times 14 = - 8$ ； $17 \times 26 - 18 \times 25 = - 8$ ，不难发现结果都是 $- 8$ ．
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(1)、若设框出的4个数中最小的数为n，请用含n的等式表示以上规律；

(2)、利用整式的运算验证以上的规律．

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4、如图，已知点D与 $∠ A O B$ ．作 $∠ C D E$ ，使 $∠ C D E$ 的两边与 $∠ A O B$ 的两边分别平行．

(1)、按要求画出图形；

(2)、判断 $∠ C D E$ 与 $∠ A O B$ 有怎样的数量关系．

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5、已知． $x^{2} + y^{2} = 25$ ， $x - y = 7$ ．

(1)、求 $x y$ 的值；

(2)、求 $x + y$ 的值．

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6、如图，点C在 $B D$ 上， $∠ A = ∠ B$ ， $A B ∥ C E$ ，请说明 $C E$ 平分 $∠ A C D$ ．
解：理由如下：
$∵ A B ∥ C E$ ，
$∴ ∠ D C E =$ ________（两直线平行，同位角相等），
$∠ A C E =$ ________（________）．
$∵ ∠ A = ∠ B$ ，
∴________，
∴CE平分 $∠ A C D$ （角平分线的定义）．
请你补全上述说理过程．

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7、解方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} \begin{array}{l} x + y = 7 \\ 3 x - y = 5 \end{array} \end{matrix}$ ；

(2)、 $\{\begin{cases} x + 2 y = 1 \\ 2 (x + 2 y) - y = 0 \end{cases}$ ．

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8、三位同学对下面的问题提出了各自的想法：
若方程组 $\{\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$ 的解是 $\{\begin{array}{l} x = 5 \\ y = - 4 \end{array}$ ，求方程组 $\{\begin{matrix} 3 a_{1} x + 2 b_{1} y = a_{1} + c_{1} \\ 3 a_{2} x + 2 b_{2} y = a_{2} + c_{2} \end{matrix}$ 的解．
甲：肯定与第一个方程组有关，但看不出有怎样的联系．
乙：把第二个方程组的两个方程进行变形，让两个方程的系数呈现 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ 与 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ 排列，这样与第一个方程组就有联系了．
丙：我好像明白乙说的意思了……
根据三位同学的对话，这个方程组的解是．

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9、已知直线 $A B ， C D$ 相交于点O， $E O ⊥ A B$ ，垂足为O．若 $∠ E O C = 35 °$ ，则 $∠ A O D$ 的度数为．

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10、硬盘、U盘等信息存储设备常用 $KB,MB,GB,TB$ 等作为存储量的单位，其中 $1 MB = 2^{10} KB$ ， $1 GB = 2^{10} MB$ ， $1 TB = 2^{10} GB$ ．例如，张老师有一台硬盘容量是 $2 TB$ 的笔记本电脑，还有一个存储量为 $64 GB$ 的U盘，则张老师这台笔记本电脑的硬盘容量是U盘容量的倍．

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11、写出一个解为 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 3 \end{array}$ 的二元一次方程组：．

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12、如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角 $∠ A O B$ 的度数，某人设计了如下测量方案：作 $A O, B O$ 的延长线 $O C, O D$ ，量出 $∠ C O D$ 的度数，即为 $∠ A O B$ 的度数．这个测量方案的数学依据是．

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13、如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为 $23 {dm}^{2}$ ．若地砖与台面的边长均为整数（单位： $dm$ ），则台面与这种型号的地砖边长相差（）

A、 $4 dm$ B、 $5 dm$ C、 $8 dm$ D、 $9 dm$

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14、一道作业题如下：

从甲地到乙地先有一段上坡路，后有一段平路．如果保持上坡每小时走 $3 km$ ，平路每小时走 $4 km$ ，下坡每小时走 $5 km$ ，那么从甲地到乙地需50分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少 $km$ ？

小明将问题转化为二元一次方程组求解．设坡路有 $x km$ ，平路有 $y km$ ，则全程为 $(x + y) km$ ，若他先列出一个方程为 $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = \frac{50}{60}$ ，则另一个正确的方程应该是（）

A、

\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = \frac{42}{60}

B、

\frac{x}{5} + \frac{y}{4} = \frac{42}{60}

C、

\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = \frac{42}{60}

D、

\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = \frac{42}{60}

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15、利用加减消元法解方程组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 6 ① \\ 5 x - 2 y = 9 ② \end{array}$ ，下列做法正确的是（）

A、要消去 $x$ ，可以将① $\times 5 -$ ② $\times 2$ B、要消去 $y$ ，可以将① $\times 3 +$ ② $\times 2$ C、要消去 $x$ ，可以将① $\times 5 +$ ② $\times 2$ D、要消去 $y$ ，可以将① $\times 2 -$ ② $\times 3$

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16、如图，直线 $a$ ， $b$ 被直线 $c$ 所截，下列条件中，不能判定 $a ∥ b$ 的是（）

A、 $∠ 3 + ∠ 4 = 180 °$ B、 $∠ 2 = ∠ 4$ C、 $∠ 1 = ∠ 3$ D、 $∠ 1 + ∠ 4 = 180 °$

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17、下列各组数是方程 $x + y = 2$ 解的是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 0 \end{array}$ B、 $\{\begin{matrix} x = 1 \\ y = - 3 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 2 \end{array}$

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18、综合与探究

(1)、【初步感知】如图1， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点 $E$ 在 $A C$ 边上，且 $A E = \frac{1}{2} C E$ ，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，过点 $D$ 作 $D H ∥ A C$ 交 $B E$ 于点 $H$ ，则 $\frac{B G}{G E}$ 的值为___________；

(2)、【尝试应用】如图2，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 为 $A C$ 边上一点，且 $A D = A B$ ，连接 $B D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 边于点 $F$ ．若 $A D = 6, C D = 2, A F = 5$ ，求 $A E$ 的长；

(3)、【问题解决】如图3，某市有一处形状为 $▱ A B C D$ 的物流中心，现计划在 $B C$ 边上设立一处装卸点 $E$ ，点 $E$ 为 $B C$ 边的中点，并在 $C D$ 边上找一点 $F$ ，设立一个仓库，使得 $\frac{C F}{C D} = \frac{1}{3}$ ，沿 $A E$ 、 $B F$ 铺设两条水泥路，连接 $A C$ ， $B F$ 与 $A E$ 、 $A C$ 分别交于点 $G$ 、 $M$ ，并在点 $G$ 、 $M$ 处设立临时中转站，你能帮助工作人员求出 $\frac{B G}{M G}$ 的值吗？如果能，请直接写出 $\frac{B G}{M G}$ 的值（水泥路宽度及中转站、装卸点、仓库大小均忽略不计）．

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19、如图，E是矩形 $A B C D$ 的边 $C B$ 上的一点， $A F ⊥ D E$ 于点F．

(1)、证明： $△ A F D ∽ △ D C E$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $C E = 1$ ，则点A到直线 $D E$ 的距离为______．

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20、2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．

(1)、求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率；

(2)、该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？

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