相关试卷

1、综合与实践
木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题．
如图1，现有宽度不同的两根木条（宽木条 $M O B P$ 中 $M O ∥ P B$ ，窄木条 $N O A Q$ 中 $O N ∥ A Q$ ， $∠ M O B = ∠ N O A = 135 °$ ），当遇到转角为直角（ $∠ M O N = 90 °$ ）的地面时，发现拼接后点 $A$ 与点 $B$ 不能重合．在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接．
第一步：如图2，画出 $Q A$ 的延长线，交 $B P$ 于点 $C$ ，连接 $O C$ ；
第二步：如图3，沿着射线 $O B$ 方向，平移窄木条 $N O A Q$ ，得到 $N^{'} O^{'} A^{'} Q^{'}$ ，使点 $A^{'}$ 与点 $B$ 重合，延长 $M O$ ，交窄木条的边 $N^{'} O^{'}$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ；
第三步：沿着 $O C$ 、 $B D$ 切割，切口恰好可以完全重合，如图4完成拼接．

(1)、如图4，如果宽木条 $M O B P$ 的宽度为12cm，窄木条 $N O C Q$ 的宽度为8cm，宽木条 $M O B P$ 裁剪后的锐角是 $∠ O C P$ ，那么 $\tan ∠ O C P =$ __________；

(2)、请结合图3和图4，运用几何知识说明完成拼接的合理性；

(3)、如图5，当遇到转角为60度的地面时，对宽度比为 $2 ： 1$ 的两根长方形木条切割后拼接铺入该转角处，则 $\tan α =$ __________．

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2、如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ 上，连接 $A C$ ， $B C$ ，过点 $C$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $A B$ 的延长线于点 $D$ ，在 $\overset{⌢}{A C}$ 上取点 $E$ ，使 $\overset{⌢}{E C} = \overset{⌢}{B C}$ ，连接 $B E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $B E ∥ C D$ ；

(2)、若 $\sin D = \frac{3}{5}$ ， $B D = 2$ ，求半圆 $O$ 的半径．

(3)、利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线 $O G ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点 $G$ ，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．

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3、某企业要进行产业升级，决定投入资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．

(1)、为促进企业的产业升级，本地政府也出台了相应的补贴政策：企业更新1条甲类生产线的设备可获得3.5万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．更新完这30条生产线的设备，该企业可获得75万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？

(2)、已知更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用225万元购买更新甲类生产线的设备数量和用200万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得75万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？

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4、某学校制定了学生劳动习惯养成计划，引导学生积极参与家务劳动、公益劳动等实践活动．该校在学期初和学期末分别对八年级学生开展了“一周参与劳动时间”的问卷调查，两次调查均随机抽取50名学生．根据收集到的数据，将劳动时间 $x$ （单位：小时）分为A（ $x < 2$ ），B（ $2 \leq x < 3$ ），C（ $3 \leq x < 4$ ），D（ $x \geq 4$ ）四组进行统计，并绘制了学期初调查数据条形图，学期末调查数据扇形图和两次调查数据的平均数、中位数、众数统计表，部分信息如下．
两次调查数据统计表
时间
平均数
中位数
众数
学期初
$2.8$
$2.9$
$2.8$
学期末
$3.5$
$3.6$
$3.6$

(1)、在学期初调查数据条形图中，B组人数是_______人，并补全条形图；

(2)、八年级有500名学生，估计学期末一周参与劳动时间不低于3小时的人数；

(3)、该校八年级学生一周参与劳动时间，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由．

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5、解不等式组 $\{\begin{array}{l} 4 (x - 1) \leq 7 x + 2 ① \\ x + 2 < \frac{x + 8}{3} ② \end{array}$ ，并写出所有整数解．

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6、计算： ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt{16} + |\sqrt{2} - 2| + 2 \cos 45 °$ ．

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7、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 6$ ，点 $D$ 在边 $C B$ 上， $D B = 2 C D$ ，连接 $A D$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ A D$ ，交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，连接 $D F$ ，则 $D F =$ ．

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8、如图，点 $A$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上，连接 $O A$ ，交双曲线 $y = \frac{k}{4 x} (x > 0)$ 于点 $B$ ，点 $C$ 为 $x$ 轴上一点，四边形 $O A C D$ 为菱形，若四边形 $A C D B$ 的面积是 $6$ ，则 $k =$ ．

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9、如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，点 $E$ 在 $D C$ 上，以 $A E$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切，若 $C E = \frac{5}{4}$ ，则正方形的边长为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10、为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为 $x$ 米，根据题意可列方程（）

A、 $7 x^{2} = 12$ B、 $7 (1 + x^{2}) = 12$ C、 $x (7 - x) = 12$ D、 $7 {(1 + x)}^{2} = 12$

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11、小馨同学按如下步骤作四边形 $A B C D$ ；（1）画 $∠ M A N$ ；（2）以点 $A$ 为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交 $A M$ ， $A N$ 于点 $B$ ， $D$ ；（3）分别以点 $B$ ， $D$ 为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点 $C$ ；（4）连接 $B C$ ， $C D$ ， $B D$ ．若 $∠ A = 48 °$ ，则 $∠ C B D$ 的大小是（）

A、 $64 °$ B、 $65 °$ C、 $66 °$ D、 $67 °$

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12、下列计算正确的是（）

A、 $2 x + y = 2 x y$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + y^{2}$ D、 $3 x y \cdot 2 y = 6 x y^{2}$

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13、深圳铁路部门预计 $2026$ 年春运发送旅客 $1213.5$ 万人次，日均 $30.34$ 万人次，同比增长 $7.5 %$ ，客流再创新高． $30.34$ 万用科学记数法表示为（）

A、 $3.034 \times 10^{3}$ B、 $3.034 \times 10^{4}$ C、 $3.034 \times 10^{5}$ D、 $3.034 \times 10^{6}$

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14、下列标点符号是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、

(1)、【操作发现】：如图一，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将 $△ A B E$ 沿AE折叠后得到 $△ A F E,$ 点 F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点 G.猜想线段GF与GC的数量关系是.

(2)、【类比探究】：如图二，将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

(3)、【应用】：如图三，将(1)中的矩形ABCD改为正方形，边长.AB=4，其它条件不变，求线段GC的长.

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16、如图所示，M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC边上的一动点. PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为点E，F，试探究以下问题：

(1)、当四边形 PEMF是矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件?说明理由；

(2)、在(1)的条件下，当点P运动到什么位置时，四边形 PEMF为正方形?为什么?

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17、如图，已知正方形ABCD， E， F分别在BC， CD上， AE⊥BF， CH⊥BF，垂足为G， H.

(1)、求证： △ABG≌△BCH；

(2)、请连接GC，若BG=5， BC=13，求GC的长.

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18、先阅读材料，再解答问题.
已知a，b都是有理数，且满足 $a + \sqrt{2} b = 3 - 2 \sqrt{2},$ 求b²的值.
解：由题意得 $(a - 3) + (b + 2) \sqrt{2} = 0 .$
∵a，b都是有理数， ∴a-3， b+2也是有理数.
又∵ $\sqrt{2}$ 是无理数， ∴a-3=0， b+2=0.
∴a=3， b=-2.∴bᵃ= (-2) ³=-8.
问题：已知x，y都是有理数，且满足 $x^{2} - 2 y + \sqrt{5} y = 8 + 4 \sqrt{5},$ 求x+y的值.

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19、如图，在四边形ABCD中， AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD， BC分别相交于点M， N，连接BM，DN.

(1)、求证：四边形 BNDM是菱形；

(2)、若∠C=90°， BC=16， CD=8，求四边形 BNDM的周长.

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20、在4×6的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点N是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示).

(1)、在图1中作出所有长为5的线段AB，且点B是格点；

(2)、在图2中先作一条线段AC，使 $A C = \sqrt{17},$ 再作一条线段CD，使得 $C D = 3 \sqrt{2};$

(3)、在图3中作一条线段AE，使 $A E = \frac{\sqrt{13}}{2} .$

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时间	平均数	中位数	众数
学期初	$2.8$	$2.9$	$2.8$
学期末	$3.5$	$3.6$	$3.6$