相关试卷

1、阅读下面的解题过程：
已知： $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3},$ 求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值.
解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ 知x≠0，所以 $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3,$ 即 $x + \frac{1}{x} = 3 .$
所以 $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7 .$
故 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值为 $\frac{1}{7}$
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题.
已知： $\frac{x}{x^{2} - 3 x + 1} = \frac{1}{5},$ 求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ 的值.

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2、先化简，再求值： $(a + \frac{3 - a^{2}}{a - 3}) \div (\frac{a^{2} - 1}{a - 3}),$ 自选一个a 的值代入求值.

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3、观察下面的等式： $\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}, \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}, \frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20}, \dots$

(1)、按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）.

(2)、请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.

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4、某飞行器在相距m 的甲、乙两站间往返飞行，在没有风时，飞行器的速度为v，飞行一次所需时间为 $t_{1}$ ；如果风速为 $p （ 0 < p < v ）$ 时，飞行器顺风飞行的速度为 $(v + p),$ ，逆风飞行的速度为 $(v - p),$ ，飞行一次所需时间为 $t_{2} .$ 请比较 $t_{1}, t_{2}$ 的大小关系，并说明理由.

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5、先化简，再求值： $(a - 2 + \frac{1}{a}) \div \frac{{(a - 1)}^{2}}{∣ a ∣},$ 其中a 使反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 的图象位于第二、四象限.

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6、先化简，后求值： $(1 + \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x}{x^{2} - 1},$ 其中x=-4.

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7、计算 $\frac{y}{x^{2} - y^{2}} \div (1 - \frac{x}{x + y})$ 的结果是.

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8、化简代数式 $(a - \frac{2 a - 1}{a}) \div \frac{a - 1}{a^{2}} .$

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9、已知试卷上一个正确的式子 $(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}) \div ⋆ = \frac{2}{a + b},$ 则被“★”遮住部分的代数式为（）

A、 $\frac{a}{a - b}$ B、 $\frac{a - b}{a}$ C、 $\frac{a}{a + b}$ D、 $\frac{4 a}{a^{2} - b^{2}}$

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10、下列变形中，正确的是（）

A、 $\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a + b}{a b} = \frac{b + 1}{b}$ C、 $\frac{a - 1}{- b} = - \frac{a - 1}{b}$ D、 $\frac{(- a - b)}{{(a + b)}^{2}} = 1$

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11、化简 $\frac{2}{x^{2} - 1} \div \frac{1}{x + 1}$ 的结果是（）

A、 $\frac{2}{x - 1}$ B、 $\frac{2}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{2}{x + 1}$ D、2（x+1）

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12、若分式 $\frac{2 a}{a + b}$ 中a，b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（）

A、是原来的20倍 B、是原来的10倍 C、是原来的 $\frac{1}{10}$ D、不变

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13、若分式 $\frac{2 x}{x + 1}$ 有意义，则x 满足的条件是（）

A、x=0 B、x≠0 C、x=--1 D、x≠--1

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14、代数式 $\frac{2}{5} x, \frac{1}{n}, \frac{2}{x^{2} + 4}, - \frac{2}{3}, \frac{1}{x}, \frac{x + 1}{x + 2}$ 中，属于分式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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15、如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC上的任意一点，连接AE，以AE为边作正方形AGFE，连接CGFE交AB于点P.

(1)、求证： $∠ G A P = ∠ B E A$ ；

(2)、求证： $A P = B P + B E$ ；

(3)、连接AC
①如图2，若CP平分 $∠ A C B$ ，求 $\frac{B C}{B E}$ 的值；
②如图3，若 $∠ A C P = 3 0^{°}$ ，请直接写出 $\frac{B C}{B E}$ 的值.

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16、已知函数 $y = {\begin{array}{l} k x - 2 k + 1 & (x \leq 2) \\ x - 1 & (x > 2) \end{array}$ 的图像经过点(0，3).

(1)、求k的值；

(2)、在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象；

(3)、若点A(a，m)， B(b，m)都在函数图象上，且 $a < 2$ ， $b > 2$ ，试说明： $a + b = 4$ .

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17、尺规作图问题：
如图1，在等腰三角形ABC中， $A B = A C$ ， D，E分别是BC，AB的中点，在AC边上作一点F，使得四边形AEDF为菱形.
甲同学：如图2，以点A为圆心，AE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
乙同学：以点D为圆心，DE长为半径画弧，交AC于点F，连接DF，则四边形AEDF为菱形.
甲同学：你的作法有问题.
乙同学：哦…我明白了！

(1)、证明：甲同学所作的四边形AEDF为菱形；

(2)、请指出乙同学作法中存在的问题.

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18、小丽和小张相约去植物园游玩. 小丽从甲小区骑电动车出发，同时小张从乙小区开车去超市购物，然后按原来的速度前往植物园，他们的行程路线图如图1所示，他们离甲小区的路程s与出发时间t的对应关系如图2所示. 根据下图回答问题：

(1)、求小丽骑电动车和小张开车的速度；

(2)、出发几分钟后他们离甲小区的路程相等？

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19、以下是小奔同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务.
解： ${(\sqrt{2} - 1)}^{2} (3 + 2 \sqrt{2})$
= $(2 - 2 \sqrt{2} + 1) (3 + 2 \sqrt{2})$ ······ 第①步
= $(3 - 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})$   ······ 第②步
=9-4                 ······ 第③步
=5                   ······ 第④步
【任务】

(1)、上述解答过程中，第①步依据的乘法公式为；（填“平方差公式”或“完全平方公式”）

(2)、上述解答过程，从第步开始出错；

(3)、请写出正确的计算过程.

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20、杭州宇树科技公司生产的人形机器人亮相央视2025春晚，让我们看到了一个技术深度嵌入日常生活，人机协作成为常态的未来已来.某人形机器人公司为参加人形机器人半程马拉松比赛，研发团队对H1、G1两款人形机器人的性能进行6次综合测评，测评结果绘制成如下统计图表：
型号
平均数 (分)
中位数(分)
众数(分)
方差 (分²)
H1
96
95.5
a
$\frac{8}{3}$
G1
b
96
96
5

(1)、填空： $a$ = ， $b$ =；

(2)、根据测评结果，公司决定选H1机器人参加半程马拉松比赛，请你根据相关统计量说明公司选择的理由.

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型号	平均数 (分)	中位数(分)	众数(分)	方差 (分²)
H1	96	95.5	a	$\frac{8}{3}$
G1	b	96	96	5