相关试卷

1、
【定义理解】
材料1：一个点把一条线段分为两段，如果其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．
例如：如图1， $\frac{C B}{A C} = \frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
材料2：我们把宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．例如：如图2，矩形 $A B C D$ 的宽为 $A B$ ，长为 $B C$ ，如果 $\frac{A B}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，那么矩形 $A B C D$ 为黄金矩形．
【操作发现】
下面，我们用一张矩形纸片折叠黄金矩形
第一步：如图①，将矩形纸片 $M N P Q$ 折叠，使得 $M N$ 与 $M B$ 重合，折痕为 $M C$ ，展开．
第二步：如图②，将纸片折叠，使得 $M N$ 与 $B C$ 重合，折痕为 $F A$ ，展开．
第三步：如图③，连接 $N F$ ，再将矩形沿过点 $N$ 的直线 $N E$ 折叠，使得 $N F$ 的对应边 $N G$ 落在边 $N P$ 上，展开．
第四步：如图④，过点 $E$ 作 $E D ⊥ N P$ 于点 $D$ ，得到矩形 $B C D E$ ．
【初步应用】
（1）如图2，若黄金矩形 $A B C D$ 的长 $B C = \sqrt{5} + 1$ ，请直接写出它的宽 $A B =$ ___________．
（2）在矩形 $M N P Q$ 中， $M N = 2$ ．请判断图④中矩形 $M N D E$ 是不是黄金矩形，并说明理由．
【迁移拓展】
（3）小明用一张宽为 $n$ 的矩形纸片，按照【操作发现】的折纸步骤进行操作折叠黄金矩形，在探究中发现点 $E$ 恰好是线段 $B Q$ 的黄金分割点，请直接写出长 $M Q$ 的长度___________．

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2、问题情境：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题：

(1)、如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的 $A, B, C, D$ 面积分别是6，10，3，6，则正方形 $E$ 的面积是_____，正方形 $G$ 的边长是_______；

(2)、如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接 $B E$ ， $C M$ ．
①求证： $B E = C M$
②若正方形 $A C D E$ ，正方形 $B C G F$ 的面积分别为16，9，请直接写出 $C M$ 的长为______．

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3、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B D$ 是对角线．

(1)、尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段 $B D$ 的垂直平分线，垂足为点O，与边 $A D ， B C$ 分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；

(2)、在（1）的条件下，连接 $B E ， D F$ ，求证：四边形 $B F D E$ 为菱形．

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4、（1）如图1，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，过点 $C$ 作直线 $D E$ ， $A D ⊥ D E$ 于点 $D ， B E ⊥ D E$ 于点 $E$ ，若 $A D = 1 ， B E = 3$ ，则 $D E =$ ___________；
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 是 $A C$ 边的中点，点 $M$ 在 $A B$ 边上，点 $N$ 在 $B C$ 边上．若 $D M ⊥ D N$ ，求证： $A M^{2} + C N^{2} = M N^{2}$ ．
（3）如图3，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ， $B C = B E$ ， $B A = B D$ ， $∠ E B C = ∠ D B A = 90 °$ ，连接 $C E$ ， $E D ， D A$ ，延长 $C B$ 交 $E D$ 于点 $F$ ，点 $P$ 为 $A C$ 的中点，连接 $P B$ ．若 $B P = 5 ， B F = 3$ ，求 $△ E B D$ 的面积．

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5、如图1是一个长为 $2 m$ 、宽为 $2 n$ 的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

(1)、观察图2，直接写出代数式 ${(m + n)}^{2} ， {(m - n)}^{2} ， m n$ 之间的关系：___________；

(2)、利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题：已知 $x + y = 10 ， x y = 16$ ，则 $x - y$ 的值为___________；

(3)、两个正方形 $A B C D$ 、 $A E F G$ 如图3摆放．边长分别为 $x ， y$ ，若 $x^{2} + y^{2} = 52 ， B E = 2$ ，求图中阴影部分的面积之和．

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6、我校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米．
立柱根数
1
2
3
4
5
．．．
护栏总长度（米）
0.2
3.4
6.6
9.8
13
．．．

(1)、设有 $x$ 根立柱，护栏总长度为 $y$ 米，则 $y$ 与 $x$ 之间的关系式是___________；

(2)、若护栏总长度为125米，求此时立柱的根数．

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7、【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地

A B C

，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案：

①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆．

②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下：

掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿)	100	200	500	1000	……
小石子落在圆内(含圆上)的次数 m	32	63	153	305	……
小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n	68	137	347	695	……
小石子落在圆内(含圆上)的频率	0.320	0.315	0.306	x	……

【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 $m + n$ )，则表格中的数据x = ；随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在附近(结果精确到 $0.1$ )；

【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留 $π$ )

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8、尺规作图：如图，已知 $△ A B C$ ．请在 $A C$ 边上找一点 $D$ ，使 $△ A B D$ 的周长等于 $A B + A C$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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9、先化简，再求值： $[{(2 x + y)}^{2} - 4 (x - y) (x + 2 y)] \div 3 y$ ，其中 $x = 9, y = - 1$

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10、计算：

(1)、 ${(- 2025)}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1} + |- 4|$ ；

(2)、 $a \cdot a^{2} \cdot a^{3} - {(- 2 a^{3})}^{2} - a^{9} \div a^{3}$ ．

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11、如图， $△ A B C$ 为直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ，分别以 $△ A B C$ 的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，若 $S_{3} + S_{2} - S_{1} = 18$ ．则图中阴影部分的面积为．

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12、摩托车油箱中14升油，行驶时每小时耗油2升，在不加油的情况下，剩余油量 $Q$ （升）与行驶时间 $t$ （小时）之间的函数关系式为

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13、有4根长度分别为 $2 cm$ ， $3 cm$ ， $4 cm$ ， $6 cm$ 的木棒，从中任意取3根，则这 $3$ 根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是．

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14、如图，点 $D$ 为 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上一点，如果 $∠ A = 50 °$ ，将 $△ A C D$ 沿直线 $C D$ 翻折后，点 $A$ 落在 $A^{'}$ 处，那么当 $∠ A C D =$ $ °$ 时，有 $A^{'} D ∥ C A$ ．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，点 $N$ 在线段 $A C$ 的延长线上，且 $B M = C N$ ，连接 $M N$ 与 $B C$ 相交于点 $D$ ．若 $A M = 3 ， B M = 1 ， D N = 2$ ，则 $△ B M D$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、2.5 D、3

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16、根据下列条件能画出唯一确定的 $△ A B C$ 的是（）

A、 $A B = 4, B C = 3, ∠ A = 30 °$ B、 $A B = 3, B C = 4, A C = 8$ C、 $∠ A = 60 °, ∠ B = 45 °, A B = 4$ D、 $∠ A = 50 °, ∠ B = 60 °, ∠ C = 70 °$

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17、如图，用 $A$ 类、 $B$ 类正方形卡片和 $C$ 类长方形卡片各若干张，拼一个长为 $(a + 5 b)$ 、宽为 $(a + 4 b)$ 的大长方形，则需要 $C$ 类卡片的张数为（）

A、20 B、11 C、9 D、6

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18、生命在于运动！下面四幅体育运动的简笔画，其中轴对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图，将三角形 $A B C$ 平移一定的距离得到三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则下列结论中不一定正确的是（）

A、 $A A^{'} ∥ B B^{'}$ B、 $A A^{'} = B B^{'}$ C、 $∠ A C B = ∠ A^{'} B^{'} C^{'}$ D、 $B C = B^{'} C^{'}$

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20、【实践探究】
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根和立方根”的实践活动，同学们列出了表1中的算术平方根和表2中的立方根如下：
表1：
x
…
0.0064
0.64
64
6400
640000
…
$\sqrt{x}$
…
0.08
0.8
8
800
80
…
表2：
x
…
0.000064
0.064
64
64000
64000000
…
$\sqrt[3]{x}$
…
0.04
0.4
4
40
400
…
【探索发现】
（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根和立方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数点向右或向左移动位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动位；若被开方数的小数点向右或向左移动位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动位．
【规律应用】
（2）请运用上述规律，解答下列问题：
①已知 $\sqrt{3} \approx 1.732, \sqrt[3]{3} \approx 1.442$ ，则 $\sqrt{300} \approx$ ， $\sqrt[3]{0.003} \approx$ ；
②若 $\sqrt{a} \approx 14.142, \sqrt[3]{0.7} \approx b$ ，求a， b的值．
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4142, \sqrt{20} \approx 4.4721, \sqrt[3]{7} \approx 1.9129, \sqrt[3]{700} \approx 8.879$ ）
（3）运用上述规律，你能根据 $\sqrt{3}$ 的值求出 $\sqrt{30}$ 的值吗？请说明理由．

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立柱根数	1	2	3	4	5	．．．
护栏总长度（米）	0.2	3.4	6.6	9.8	13	．．．

x	…	0.000064	0.064	64	64000	64000000	…
$\sqrt[3]{x}$	…	0.04	0.4	4	40	400	…

x	…	0.0064	0.64	64	6400	640000	…
$\sqrt{x}$	…	0.08	0.8	8	800	80	…