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1、房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分， $A B = A C$ ， $B C = 10$ 米．

(1)、尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱 $A D$ 支撑，立柱 $A D$ 垂直于横梁 $B C$ ，垂足为点 $D$ ．请在图2中作出立柱 $A D$ （要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；

(2)、当 $∠ B A C = 90^{\circ}$ 时，求立柱 $A D$ 的长．

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2、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 x - \frac{x + 3}{2} \leq 0 ① \\ 5 x + 1 > 3 (x - 1) ② \end{array}$ ．

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3、计算： $\sqrt{6} \times \sqrt{3} - 6 \sqrt{\frac{1}{2}}$ ．

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4、如图，设四边形 $A B C D$ 是边长为1的正方形，以正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 为边作第二个正方形 $A C E F$ ，再以第二个正方形 $A C E F$ 的对角线 $A E$ 为边作第三个正方形 $A E G H \dots \dots$ 如此下去，记正方形 $A B C D$ 的边长为 $a_{1} = 1$ ，按上述方法所作的正方形的边长依次为 $a_{1}, a_{2}$ ， $a_{3}, \dots, a_{n}$ ，根据上述规律，则第7个正方形的边长 $a_{7}$ 为．

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5、如图，长方形纸片 $A B C D, A B = 6, A D = 10$ ，将这张长方形纸片翻折，点 $D$ 落到 $B C$ 边点 $H$ 处，点 $C$ 落到点 $G$ 处，折痕交边 $A D, B C$ 于点E，F，若 $B H = 1$ ，则 $A E$ 的长为．

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6、如图，在扇形纸扇中，若 $∠ A O B = 150 °$ ， $O A = 24$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为．

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7、若点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 、 $C (3, m^{2})$ 均在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数，且 $k \neq 0$ ）的图象上，其中 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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8、方程 $\frac{1}{2 x - 1} = 1$ 的解是 $x =$ ．

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9、因式分解 $18 x^{2} y - 12 x y + 2 y =$ ．

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10、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A - D - C$ 向点 $C$ 匀速运动，过点 $P$ 作对角线 $A C$ 的垂线，交矩形 $A B C D$ 的边于点 $Q$ ．设点 $P$ 运动的路程为 $x, A Q$ 的长为 $y$ ，其中y关于 $x$ 的函数图象大致如图2所示，则 $m$ 的值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{15}$ C、8 D、 $2 \sqrt{13}$

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11、如图， $A B$ 为半圆 $O$ 的直径，四边形 $A B D E$ 内接于半圆 $O$ ． $C$ 为 $A B$ 延长线上一点， $C D$ 切半圆于点 $D$ ．若 $∠ E = 115 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $40 °$ C、 $30 °$ D、 $20 °$

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12、已知函数 $y = - x + b$ 的图象如图所示，则关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x + b = 0$ 的根的情况是（）

A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相等的实数根 D、无法确定

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13、如图， $A B ∥ C D$ $, A E$ 与 $C D$ 相交于点 $O, ∠ A = 45 °, ∠ C = ∠ E$ ．则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $30 °$ C、 $22.5 °$ D、 $15 °$

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14、如图，这是一个正方体的平面展开图，若相对的两个面上的数互为相反数，则 $x + y + z$ 的值为( )

A、 $- 8$ B、4 C、0 D、 $- 4$

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15、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{5} = a^{7}$ B、 ${(3 a^{2})}^{3} = 9 a^{6}$ C、 $x^{6} y^{3} \div x^{2} y = x^{4} y^{2}$ D、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$

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16、截至2025年末，白银市常住人口约为 $1482000$ 人，数据 $1482000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $1.482 \times 10^{6}$ B、 $14.82 \times 10^{5}$ C、 $1.482 \times 10^{7}$ D、 $1482 \times 10^{3}$

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17、解决下列问题：

(1)、【操作探究】如图①，在平行四边形 $A B C D$ 中．作图：过 $B D$ 的中点O作直线 $E F$ ，分别交 $B C, A D$ 于点E，F；发现： $A F$ 与 $C E$ 的数量关系为_______．

(2)、【初步应用】如图②，在平行四边形 $A B C D$ 中，过点O作 $G H ⊥ E F$ ，交 $A B, C D$ 于点H，G，连接 $E G, G F, F H, H E$ ．判断四边形 $E G F H$ 的形状并说明理由；

(3)、【问题解决】如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，点E，G分别在 $A B, A D$ 上，连接 $E G$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点P，点O是 $A C$ 的中点，连接 $D O$ 并延长交 $B C$ 于点F，连接 $E F$ ．将线段 $E F$ 所在的直线绕点E逆时针旋转 $90 °$ 交 $A D$ 于点Q．当 $∠ P = 90 °$ ， $A Q = \frac{3}{2}$ ， $A E = 3$ ， $C D = 6$ 时，求 $G Q$ 的长．

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18、【活动主题】
如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究．
【建立模型】
如图2，钢缆主拱呈抛物线 $C_{1}$ ，以 $O$ 点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线 $C_{1}$ 经过 $A (0, 12)$ ， $B (40, 4)$ ，顶点的横坐标为30．

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的解析式；

(2)、【设计应用】在 $y$ 轴上点 $P (0, 18)$ 处挂一条与抛物线 $C_{1}$ 形状相同的抛物线灯带 $C_{2}$ ，抛物线 $C_{2}$ 最低点到 $y$ 轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？

(3)、在灯带点 $M (60, 18)$ 处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线 $C_{1}$ 于点 $N$ ，设射线 $M N$ 的解析式为 $y = k x + b$ （ $0 \leq x \leq 60$ ）．彩灯射线以点 $M$ 为旋转中心，从抛物线 $C_{1}$ 最低点处顺时针方向旋转，与抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 都有交点时，求 $k$ 的取值范围．

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19、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，直线 $M N$ 与 $⊙ O$ 相切于点C， $A D ⊥ M N$ 于点D，延长 $A B$ 交 $M N$ 于点P，连接 $A C ， B C$ ．

(1)、求证： $A C$ 平分 $∠ D A B$ ；

(2)、若 $∠ P = \frac{1}{2} ∠ C A P$ ，求 $∠ A C D$ 的度数；

(3)、若 $tan ∠ A B C = \sqrt{2}$ ，求 $cos P$ 的值．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ 交边 $A C$ 于点 $E$ ， $∠ B = ∠ E F C$ ．

(1)、求证：四边形 $D E F B$ 是平行四边形；

(2)、当四边形 $D E F B$ 是菱形时， $A B = 10$ ， $B C = 8$ ，求菱形的边长．

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