相关试卷

1、对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程x(x+6)=72为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的矩形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即 $4 \times 72 + 6^{2} ，$ 据此易得 $x = \frac{18 - 6}{2} = 6 .$ 小明用此方法解关于x的方程x(3x-n)=24，其中3x-n>x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为 ( )

A、2 B、4 C、6 D、8

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2、在每个小正方形的边长均为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM=4，BN=2.若P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足 ∠MPN = 45°的△PMN中，边 PM的长的最大值是 ( )

A、4 $\sqrt{2}$ B、6 C、 $2 \sqrt{10}$ D、3 $\sqrt{5}$

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3、老师布置的作业中有这样一道题：
甲同学认为AB，AC，AD这三条线段不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决；丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需取 AB 的中点构造三角形的中位线，就可以解决.关于三位同学的思考过程，你认为正确的是 ( )

A、甲 B、乙 C、丙 D、乙和丙

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4、转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用.请解答下面的问题.
如图①，在 △AOB 中， OA = OB，∠AOB=90°.

(1)、【基础巩固】
将图①中△AOB绕点 B 按顺时针方向旋转60°得到△DCB，如图②，连结 OC，求证：OC=OB.

(2)、【思考探究】
将图①中△AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转60°并缩小得到△DCB，如图③，使 $\frac{B C}{O B} = \frac{1}{2}$ ，连结OC，AD.
①求证：△OBC∽△ABD；
②用等式表示 AD 与AB 之间的数量关系，并说明理由.

(3)、【拓展延伸】
将图①中△AOB绕点 B 按顺时针方向旋转某个角度(小于 180°)并缩小得到△DCB，如图④，使 $\frac{B C}{O B} = \frac{1}{2} ，$ 连结 OC，AC，AD.当OC=OB时，求 $\frac{A C}{A D}$ 的值.

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5、在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的正切值之间具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究.

(1)、初步尝试：
我们知道： $t a n 6 0^{\circ} =$ ， $t a n 3 0^{\circ} =$ ；发现结论： tan A $2 t a n \frac{1}{2} ∠ A$ ((填“=”或“≠”).

(2)、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求 $t a n \frac{1}{2} ∠ B A C$ 的值.
研究思路：小明想构造包含 $\frac{1}{2} ∠ B A C$ 的直角三角形，延长CA至点 D，使得 DA=AB，连结BD，所以得到 $∠ D = \frac{1}{2} ∠ B A C ，$ 即转化为求∠D的正切值，那么 $t a n \frac{1}{2} ∠ B A C =$ .

(3)、在△ABC 中，∠A 为锐角， $t a n A = \frac{1}{3} ，$ ∠B=2∠A，AB=3 $\sqrt{10}$ ，求 S△ABC的值.

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6、在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想.比如在求 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots$ 的和中，“…”代表按此规律不断求和.我们可设 $x = 1 + \frac{1}{2} +$ $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots .$ 则有 $x = 1 + \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} +$ $\frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots) ，$ 即 $x = 1 + \frac{1}{2} x ，$ 解得x=2，故 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots = 2 .$
类似地，请你计算： $1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{3^{6}} + \frac{1}{3^{8}} + \dots =$ .(直接填计算结果即可)

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7、如图是钉板示意图，每相邻4 个钉点是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则

(1)、AB 与CD 是否垂直? (填“是”或“否”)；

(2)、AE=.

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8、公元前5世纪下半叶古希腊数学家希波克拉底解决了“化月牙为方”问题.如图①，等腰直角三角形 ABC 内接于半圆O，以 AB 为直径作半圆，与 $\hat{A B}$ 围成月牙形阴影部分，希波克拉底发现阴影部分面积等于△OAB 的面积，于是一个以曲线弧为边的图形面积转化为一个直边图形的面积.如图②，若P 是 $\hat{A B}$ 上一点， $\hat{A P} = 2 \hat{B P} ，$ 连结OP 交AB 于点Q，PQ·PO= $8 - 4 \sqrt{3}$ 则阴影部分面积为( )

A、2 B、4 C、 $18 - 9 \sqrt{3}$ D、 $36 - 18 \sqrt{3}$

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9、如图，已知 C为圆锥母线 SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从点A 爬到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为（）

A、5 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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10、如图，△ABC 是边长为 4的等边三角形，点 D，E，F分别在边 AB，BC，CA 上运动，且满足 AD=BE=CF.

(1)、求证：△ADF≌△BED；

(2)、设AD 的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数表达式；

(3)、结合(2)所得的函数，描述△DEF的面积随AD 的增大如何变化.

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11、如图，在矩形 ABCD 中，AB=10，BC=6，E是AD 上一点，AE=2. F是 AB上的动点，连结 EF，G 是 EF上一点，且 $\frac{G F}{E F} = k$ (k为常数，k≠0).分别过点 F，G作AB，EF的垂线相交于点 P.设AF的长为x，PF的长为 y.

(1)、若 $k = \frac{1}{2} ， x = 4 ，$ 则y的值是；

(2)、求y与x之间的函数表达式；

(3)、在点 F 从点 A 到点 B 的整个运动过程中，若线段CD上存在点 P，则k的值应满足什么条件?直接写出k的取值范围.

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12、图①是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为10cm，6个叠放在一起的纸杯的高为14 cm.

(1)、求3 个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米.

(2)、若设x个叠放在一起的纸杯的高为y cm(如图②)，并将这x个叠放在一起的纸杯按如图③所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度不计.
①求y关于x的函数表达式；
②若竖立的方盒的高为 33.5 cm，求 x 的最大值.

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13、如图，点C，D 在线段 AB上(点 C在点 A，D之间)，分别以 AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF 与 DE 交于点 H，延长AE，BF交于点G，AG的长为c.

(1)、若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为；

(2)、若四边形 EHFG 的面积与△CDH 的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为.

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14、如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，FD<CG.若 FG=AE，∠1=α，则∠2 的度数为(用含α的式子表示).

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15、如图，AB 为半圆的直径，AB=2，C为半圆上一点，点D 和点B关于直线AC对称，连结AD 交AC于点E，连结CE.设BC=x，AE=y，则y关于x的函数关系式为.

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16、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC₁.若点 B₁ 刚好落在边AC上，且∠CB₁E=30°，CE=m，则BC的长为.(用含m的代数式表示)

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17、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H.设AG=x，图中阴影部分的面积为 y，则y与x之间的函数关系式是 ( )

A、 $y = 3 \sqrt{3} x^{2}$ B、 $y = 4 \sqrt{3} x^{2}$ C、 $y = 8 x^{2}$ D、 $y = 9 x^{2}$

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18、如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AD=CD，连结 BD，过点A 作 BD的平行线交⊙O 于点 E，交 CB 的延长线于点 F，连结 DE.

(1)、求证：四边形 BDEF 是平行四边形.

(2)、若∠F=45°，EF=2AE=m.
①用含 m 的代数式表示BC 的长；
②点 P，Q分别在线段CF，AF 上，且 FQ= $\sqrt{2}$ PC.当△QPF 与△BCD 相似时，求 $\frac{P F}{P C}$ 的值.

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19、某商店销售 A 型和 B 型两种电脑，其中 A型电脑每台的利润为 400 元，B型电脑每台的利润为500元.该商店计划一次性购进这两种型号的电脑共100 台，其中 B型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍.设购进 A型电脑x台，这100 台电脑的销售总利润为y元.

(1)、求y关于x 的函数关系式；

(2)、该商店购进A 型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大?最大利润是多少?

(3)、实际进货时，厂家对 A 型电脑出厂价下调a(0<a<200)元，且限定商店最多购进 A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑的销售总利润最大的进货方案.

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20、如图，在△ABC 中， AB =AC=3，点 O 在 BC 上，以O为圆心，OB 为半径的圆与AC 相切于点 A，OC=2OB，D 是 BC边上的动点(不与点 B，C 重合)，当△ACD为等腰三角形时，BD的长为.

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