相关试卷

1、把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，已知 $A D ⊥ B C$ ， $E F ⊥ B C$ ，垂足分别为 $D$ 、 $F$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ，试说明： $∠ G D C = ∠ B$ ．
解： $∵ A D ⊥ B C$ ， $E F ⊥ B C$ （已知）
$∴ ∠ A D B = ∠ E F B = 90 °$ （____①____）
$∴ E F ∥ A D$ （____②____）
$∴ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ （____③____）．
又 $∵ ∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ （已知）
$∴ ∠ 1 = ∠ 3$ （____④____）
$∴ A B ∥ D G$ （____⑤____）
$∴ ∠ G D C = ∠ B$ ．

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2、解二元一次方程组： $\{\begin{matrix} \begin{matrix} x - 3 y = 5 \end{matrix} \\ 2 x + y = 3 \end{matrix}$ ．

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3、求下式中的 $x$ 的值： $\frac{1}{2} x^{2} - 8 = 0$ ．

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4、小茗同学爱好气象研究．小茗用数列 ${a_{n}}$ 记录其生活城市 $2022$ 年 $5$ 月份 $31$ 天中每天是否下过雨，方法为：当第 $k$ 天下过雨时，记 $a_{k} = 1$ ；当第 $k$ 天没下过雨时，记 $a_{k} = - 1 (1 \leq k \leq 31)$ ．他用数列 ${b_{n}}$ 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第 $k$ 天有雨时，记 $b_{k} = 1$ ；当预报第 $k$ 天没有雨时，记 $b_{k} = - 1 (1 \leq k \leq 31)$ 记录完毕后，小茗计算出 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{31} b_{31} = m$ ，若已知 $5$ 月气象台预报准确 $27$ 天，则m=；若 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{k} b_{k} = n (1 \leq k \leq 31)$ ，则气象台k天中预报准确的天数为（用 $n$ ， $k$ 表示）．

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5、下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程 $a x + b y = 6$ 的一个解，则表中“？”表示的数为．
x
2
1
0
$- 1$
$- 2$
…
？
y
2
4
6
8
10
…
100

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6、如图， $A B C D$ 为一长条形纸带， $A D ∥ C B$ ，将 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，C、D两点分别与 $C^{'}$ 、 $D^{'}$ 对应，若 $∠ 1 = 2 ∠ 2$ ，则 $∠ A E F$ 的度数为

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7、如图，直尺和含 $30 °$ 角的三角板叠放在一起，三角板的顶点A恰好落在直尺的下沿上，如果 $∠ 1 = 140 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为°．

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8、已知点 $E (x_{0}, y_{0})$ ， $F (x_{2}, y_{2})$ ，点 $M (x_{1}, y_{1})$ 是线段 $E F$ 的中点，则 $x_{1} = \frac{x_{0} + x_{2}}{2}$ ， $y_{1} = \frac{y_{0} + y_{2}}{2}$ ．在平面直角坐标系中有三个点 $A (1, - 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (0, 1)$ ，点 $P (0, 2)$ 关于 $A$ 的对称点为 $P_{1}$ （即 $P$ ， $A$ ， $P_{1}$ 三点共线，且 $P A = P_{1} A$ ）， $P_{1}$ 关于 $B$ 的对称点为 $P_{2}$ ， $P_{2}$ 关于 $C$ 的对称点为 $P_{3}$ ，按此规律继续以 $A$ ， $B$ ， $C$ 为对称点重复前面的操作，依次得到 $P_{4}$ ， $P_{5}$ ， $P_{6}$ ， …，则点 $P_{2026}$ 的坐标是（）．

A、 $(- 4, 2)$ B、 $(- 2, - 2)$ C、 $(2, - 4)$ D、 $(4, 0)$

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9、如图是 $2026$ 马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 cm$ ， $B C = 8 cm$ ， E，F是对角线 $A C$ 上的两个动点，分别从点A，C同时出发，相向而行，速度均为 $2 cm / s$ ，运动时间为 $t (0 \leq t \leq 5) s$ ．

(1)、若G，H分别是 $A B$ ， $D C$ 的中点，当 $t < 2.5$ 时，求证：以E，G，F，H为顶点的四边形始终是平行四边形．

(2)、当t为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是矩形？

(3)、若G，H分别是折线 $A - B - C$ ， $C - D - A$ 上的动点，分别从点A，C开始，以与E，F相同的速度同时出发，当 $t$ 为何值时，以E，G，F，H为顶点的四边形是菱形？

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11、定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题：

(1)、如图1，点 $E, F, G, H$ 分别为任意四边形 $A B C D$ 的边 $A B, B C, C D, D A$ 的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下：
请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1：______；依据2：______；

(2)、该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

(3)、如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形 $A B C D$ 为“中方四边形”，则其对角线 $A C$ 与 $B D$ 应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出 $A C$ 与 $B D$ 应满足的条件，并证明你的结论．

(4)、如图3，以锐角 $△ A B C$ 的两边 $A B, A C$ 为边长，分别向外侧作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C F G$ ，连接 $B E, G C, E G$ ，求证：四边形 $B C E G$ 是“中方四边形”．

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12、填空及解答：
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．

(1)、图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为 $c$ 的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．
证明：由等面积法知： $S_{大正方形} = 4 S_{直角三角形} + S_{小正方形}$
$∴$ ___________
$∴$ ___________，得证．

(2)、应用勾股定理
应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图2，在数轴上找出表示2的点 $G$ ，过点 $G$ 作直线 $l$ 垂直于数轴，在 $l$ 上取点 $F$ ，使 $F G = 1$ ，以原点 $O$ 为圆心， $O F$ 为半径作弧，则弧与数轴的交点 $E$ 表示的数是___________．
应用场景2——解决实际问题．
如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $B E = 0.5 m$ ，将它往前推 $2 m$ 至 $C$ 处时，即水平距离 $C D = 2 m$ ，踏板离地的垂直高度 $C F = 1.5 m$ ，它的绳索始终拉直，求绳索 $A C$ 的长．

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13、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $A D$ 上， $A C$ 与 $E F$ 相交于点 $O$ ， $B E = D F$ ， $∠ A O E = 90 °$ ，连接 $A E 、 F C$ ．求证：四边形 $A E C F$ 是菱形．

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14、计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{6} + {(3.14 - π)}^{0} - 6 \times \sqrt{\frac{1}{3}} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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15、如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 对折，使得点 $B$ 落在点 $E$ 处， $C E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $C E$ 平分 $∠ A C D$ ， $A F = 2$ ，则 $C D$ 长是．

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16、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是 $B C$ 边上一点， $A P$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $N$ ，连结 $P N$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $A Q$ ．给出下面四个结论：① $N A = N P$ ；② $P A$ 平分 $∠ B P N$ ；③ $B P + D Q = P Q$ ；④若 $P$ 是 $B C$ 中点，则 $Q$ 也是 $C D$ 中点．上述结论中，正确结论的序号有（）

A、①②③④ B、①② C、①②③ D、①②④

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17、我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索长是多少？”示意图如图所示，请求出绳索的长度为多少尺（结果保留1位小数）（）

A、 $9.1$ 尺 B、 $9.2$ 尺 C、 $12.1$ 尺 D、 $12.2$ 尺

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18、如图，数轴上与 $\sqrt{90} - \sqrt{10}$ 对应的点大致是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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19、要使二次根式 $\sqrt{x - 2027}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2027$ B、 $x \geq 2027$ C、 $x \leq 2027$ D、 $x < 2027$

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20、如图①，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 3, 1)$ ， $B (2, 1)$ ．将线段A $B$ 先向上平移 $2$ 个单位长度，再向右平移 $2$ 个单位长度得到线段 $C D$ ，使点 $A$ 的对应点为点 $C$ ，点 $B$ 的对应点为点 $D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ，点 $P$ 是射线 $C D$ 上一动点．

(1)、填空：点 $C$ 的坐标是，点 $D$ 的坐标是______；

(2)、当点 $P$ 运动到如图①所示的位置时，连接 $B P$ ，此时 $B D$ 平分 $∠ P B E$ ，点 $E$ 是 $A B$ 延长线上一点，已知 $∠ B A C = 45 °$ ，猜想 $B P$ 和 $C D$ 的位置关系并写出证明过程；

(3)、当点 $P$ 在线段 $C D$ 上运动时，若 $S_{△ B P D} = \frac{1}{5} S_{△ A B D}$ ，求出点 $P$ 的坐标；

(4)、点 $P$ 是射线 $C D$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合），连接 $A P$ 、 $B P$ ，直接写出 $∠ A P B$ 、 $∠ P A C$ 与 $∠ P B D$ 的数量关系．

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