相关试卷

1、定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题：

(1)、如图1，点 $E, F, G, H$ 分别为任意四边形 $A B C D$ 的边 $A B, B C, C D, D A$ 的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下：
请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1：______；依据2：______；

(2)、该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形

(3)、如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形 $A B C D$ 为“中方四边形”，则其对角线 $A C$ 与 $B D$ 应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出 $A C$ 与 $B D$ 应满足的条件，并证明你的结论．

(4)、如图3，以锐角 $△ A B C$ 的两边 $A B, A C$ 为边长，分别向外侧作正方形 $A B D E$ 和正方形 $A C F G$ ，连接 $B E, G C, E G$ ，求证：四边形 $B C E G$ 是“中方四边形”．

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2、填空及解答：
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．

(1)、图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为 $c$ 的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．
证明：由等面积法知： $S_{大正方形} = 4 S_{直角三角形} + S_{小正方形}$
$∴$ ___________
$∴$ ___________，得证．

(2)、应用勾股定理
应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．
如图2，在数轴上找出表示2的点 $G$ ，过点 $G$ 作直线 $l$ 垂直于数轴，在 $l$ 上取点 $F$ ，使 $F G = 1$ ，以原点 $O$ 为圆心， $O F$ 为半径作弧，则弧与数轴的交点 $E$ 表示的数是___________．
应用场景2——解决实际问题．
如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $B E = 0.5 m$ ，将它往前推 $2 m$ 至 $C$ 处时，即水平距离 $C D = 2 m$ ，踏板离地的垂直高度 $C F = 1.5 m$ ，它的绳索始终拉直，求绳索 $A C$ 的长．

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3、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $A D$ 上， $A C$ 与 $E F$ 相交于点 $O$ ， $B E = D F$ ， $∠ A O E = 90 °$ ，连接 $A E 、 F C$ ．求证：四边形 $A E C F$ 是菱形．

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4、计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{6} + {(3.14 - π)}^{0} - 6 \times \sqrt{\frac{1}{3}} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

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5、如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 对折，使得点 $B$ 落在点 $E$ 处， $C E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $C E$ 平分 $∠ A C D$ ， $A F = 2$ ，则 $C D$ 长是．

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6、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $P$ 是 $B C$ 边上一点， $A P$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $N$ ，连结 $P N$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $A Q$ ．给出下面四个结论：① $N A = N P$ ；② $P A$ 平分 $∠ B P N$ ；③ $B P + D Q = P Q$ ；④若 $P$ 是 $B C$ 中点，则 $Q$ 也是 $C D$ 中点．上述结论中，正确结论的序号有（）

A、①②③④ B、①② C、①②③ D、①②④

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7、我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，问绳索长是多少？”示意图如图所示，请求出绳索的长度为多少尺（结果保留1位小数）（）

A、 $9.1$ 尺 B、 $9.2$ 尺 C、 $12.1$ 尺 D、 $12.2$ 尺

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8、如图，数轴上与 $\sqrt{90} - \sqrt{10}$ 对应的点大致是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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9、要使二次根式 $\sqrt{x - 2027}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2027$ B、 $x \geq 2027$ C、 $x \leq 2027$ D、 $x < 2027$

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10、如图①，在平面直角坐标系中，已知 $A (- 3, 1)$ ， $B (2, 1)$ ．将线段A $B$ 先向上平移 $2$ 个单位长度，再向右平移 $2$ 个单位长度得到线段 $C D$ ，使点 $A$ 的对应点为点 $C$ ，点 $B$ 的对应点为点 $D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ，点 $P$ 是射线 $C D$ 上一动点．

(1)、填空：点 $C$ 的坐标是，点 $D$ 的坐标是______；

(2)、当点 $P$ 运动到如图①所示的位置时，连接 $B P$ ，此时 $B D$ 平分 $∠ P B E$ ，点 $E$ 是 $A B$ 延长线上一点，已知 $∠ B A C = 45 °$ ，猜想 $B P$ 和 $C D$ 的位置关系并写出证明过程；

(3)、当点 $P$ 在线段 $C D$ 上运动时，若 $S_{△ B P D} = \frac{1}{5} S_{△ A B D}$ ，求出点 $P$ 的坐标；

(4)、点 $P$ 是射线 $C D$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $C$ 、 $D$ 重合），连接 $A P$ 、 $B P$ ，直接写出 $∠ A P B$ 、 $∠ P A C$ 与 $∠ P B D$ 的数量关系．

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11、定义：关于 $x, y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ （其中 $a \neq b \neq c$ ）中的常数项 $c$ 与未知数系数 $a, b$ 之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如： $a x + b y = c$ 的交换系数方程为 $c x + b y = a$ 或 $a x + c y = b$ ．

(1)、请写方程 $3 x + 2 y = 4$ 的“交换系数方程”；

(2)、请求方程 $3 x + 2 y = 4$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解；

(3)、已知关于 $x, y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ 的系数满足 $a + b + c = 0$ ，且方程 $a x + b y = c$ 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于 $x, y$ 的二元一次方程 $m x + n y = p$ 的一个解，请问 $m, n, p$ 的数量关系，并说明理由．

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12、请将下列证明过程补充完整：
如图， $E F ⊥ B C$ ， $∠ 1 = ∠ C$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ，试说明 $∠ A D C = 90 °$ ．
证明： $∵ ∠ 1 = ∠ C$ ，（已知）
$∴ G D$ $∥$ ________．（____________________）
$∴ ∠ 2 = ∠ D A C$ ．（_____________________）
$∵ ∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ，（已知）
$∴ ∠ D A C + ∠ 3 = 180 °$ ．（等式的基本事实）
$∴ A D ∥ E F$ （__________________________）
$∴ ∠ A D C = ∠ C F E .$ （_______________________）
$∵ E F ⊥ B C$ ，（已知）
$∴ ∠ E F C = 90 °$ ．（垂直的定义）
$∴ ∠ A D C = 90 °$ ．（等式的基本事实）

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13、如图，直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在网格点上，其中，点 $C$ 坐标为 $(1, 2)$ ．
（1）点 $A$ 的坐标是______，点 $B$ 的坐标是______；
（2）将 $△ A B C$ 先向上平移1个单位长度，再右平移2个单位长度，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．请写出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的三个顶点坐标；
（3）求 $△ A B C$ 面积．

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14、若 $x, y, z$ 为实数，且 $|x - 5| + \sqrt{y + 4} + {(z + 2)}^{2} = 0$ ，则 ${(x + y + z)}^{2025}$ 的值为（）

A、1 B、2025 C、 $- 1$ D、 $- 2025$

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15、我们知道， $|a|$ 可以理解为 $| a - 0 |$ ，它表示：数轴上表示数 $a$ 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点 $A$ ， $B$ ，分别用数 $a$ ， $b$ 表示，那么 $A$ ， $B$ 两点之间的距离为 $|A B| = |a - b|$ ，反过来，式子 $|a - b|$ 的几何意义是：数轴上表示数 $a$ 的点和表示数 $b$ 的点之间的距离．

(1)、利用此结论，回答以下问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是         ，数轴上表示1和 $- 3$ 的两点之间的距离是         ．
②数轴上表示x和 $- 1$ 的两点A和B之间的距离是             ，如果 $|A B| = 2$ ，那么x为              ．

(2)、探索规律：
①当 $|x - 1| + |x - 2|$ 有最小值是             ．
②当 $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3|$ 有最小值是             ．
③当 $|x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4|$ 有最小值是             ．

(3)、规律应用
工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？

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16、阅读下列内容，并完成相关的问题．
小明说：“我定义了一种新的运算，叫 $*$ （加乘）”，然后他写出了一些按照 $*$ （加乘）
运算的运算法则进行了运算的算式： $(+ 4) * (+ 2) = + 6$ ； $(- 4) * (- 3) = + 7$ ；
$(+ 5) * (- 3) = - 8$ ； $(+ 6) * (- 4) = - 10$ ； $(+ 8) * 0 = 8$ ； $0 * (- 9) = 9$ ；
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的 $*$ （加乘）运算的运算法则了”．
聪明的你也明白了吗？

(1)、模仿计算： $(- 4) * (+ 3) =$ ______； $(- 5) * (- 7) =$ ______ ； $0 * (- π) =$ ______；

(2)、拓展计算： $[(- 2) * (+ 3)]*[(- 12) * 0]$ ；(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致)

(3)、我们知道加法交换律和结合律，这两种运算律在有理数的 *（加乘）运算中还适用吗？请你选择加法结合律，判断它在 $*$ （加乘）运算中是否适用，并举一个例子验证．

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17、学习了有理数的运算后，书上有这样的一道习题．用简便方法计算： $19 \frac{15}{16} \times (- 8)$ ，下面是两位同学的解法：
小李：原式 $= - \frac{319}{16} \times 8 = - \frac{319}{2} = - 159 - \frac{1}{2}$
小张：原式 $= (19 + \frac{15}{16}) \times (- 8) = - 19 \times 8 - \frac{15}{16} \times 8 = - 152 - \frac{15}{2} = - 159 \frac{1}{2}$ ．
请写出另一种更好的解法．

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18、计算：

(1)、 $5 - (- 9) + (- 6)$

(2)、 $\frac{4}{9} + 1 \frac{5}{8} - | - \frac{4}{9} | + \frac{1}{2}$

(3)、 $- (+ 1.5) - (- 4 \frac{1}{4}) + 3.75 - (+ 8 \frac{1}{2})$

(4)、 $(\frac{2}{3} - \frac{5}{6} + \frac{1}{2}) \times (- 18)$

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19、如图，数轴上a，b两数如图所示，则下面说法正确的是（　　）

A、 $a + b < 0$ B、 $a - b < 0$ C、 $- a + b < 0$ D、 $a b > 0$

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20、下列计算错误的是（　　）

A、 $1 + (- 5) = - 4$ B、 $- 11 - (- 6) = - 5$ C、 $(- 12) \times (- \frac{1}{4}) = 3$ D、 $3 \div \frac{1}{3} = 1$

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