相关试卷

1、如图1，在正方形 $A B C D$ 中，P是边 $B C$ 上的动点，E在 $△ A B P$ 的外接圆上，且位于正方形 $A B C D$ 的内部， $\overset{⌢}{E A} = \overset{⌢}{E P}$ ，连接 $A E$ ， $E P$ ．

(1)、求证： $△ P A E$ 是等腰直角三角形；

(2)、如图2，连接 $D E$ ，过点E作 $E F ⊥ B C$ 于点F，请探究线段 $D E$ 与 $P F$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、当点P是 $B C$ 的中点时， $D E = 4$ ．若点Q是 $△ A B P$ 外接圆上的动点，且位于正方形 $A B C D$ 的外部，连接 $A Q$ ．当 $∠ P A Q$ 与 $△ A D E$ 的一个内角相等时，请直接写出所有满足条件的 $A Q$ 的长．

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2、2024年游戏《黑神话：悟空》火爆出圈，游戏取景地云冈石窟迎来文旅产业的“泼天”流量，2024年共接待了近450万名游客．为了更好地服务游客，景区在游客排队区放置了遮阳伞．已知遮阳伞中截面是如图所示的伞骨结构： $\frac{A D}{M N} = \frac{2}{5}$ （ $A D$ 、 $M N$ 均在竖直方向上），伞顶杆 $A D$ 始终平分 $∠ B A C$ ， $A B = A C = 60 cm$ ，当 $∠ B A C = 132 °$ 时，伞完全打开，M与D在同一高度，此时 $∠ B D C = 90 °$ ．请问伞顶A到地面 $N Q$ 的高度是多少（结果保留整数，参考数据： $\sin 66 ° \approx 0.914$ ， $\cos 66 ° \approx 0.407$ ， $\tan 66 ° \approx 2.246$ ）

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3、如图，在边长为1的正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的顶点均在格点上（网格线的交点）．

(1)、以点 $A$ 为位似中心，画出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A B_{1} C_{1}$ ，使 $△ A B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 位于点 $A$ 的两侧，且 $△ A B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 的相似比为 $1 : 2$ ；

(2)、将 $△ A B_{1} C_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A_{2} B_{1} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{1} C_{2}$ ．

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4、如图，边长均为6的正六边形和正五边形拼接在一起，以顶点 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，得到 $\overset{⌢}{B C}$ ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 的长为（结果保留 $π$ ）．

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5、计算： $2^{- 1} + \sqrt{3} \tan 30 ° =$ ．

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6、如图，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 对折，点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $F$ ，若 $∠ B = 50 °$ ，则 $∠ B D F$ 的度数为（）

A、 $80 °$ B、 $75 °$ C、 $70 °$ D、 $60 °$

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7、如图所示，该几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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8、未来将是一个可以预见的 $AI$ 时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形 $A B C D$ ，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B C = A D$ ， $A B =$ ______．
求证：四边形 $A B C D$ 是______四边形．

(1)、在方框中填空，以补全已知和求证；

(2)、按嘉淇的想法写出证明．

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10、一个多边形的每个内角都相等，每个内角是它相邻的外角的3倍，求这个多边形的边数．

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11、已知边长分别为 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) m$ ， $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) m$ 的两个正方形的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．

(1)、求 $S_{1} + S_{2}$ 的值；

(2)、求这两个正方形的周长之和．

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12、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ，若 $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则菱形 $A B C D$ 的边长为．

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13、以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）

A、 $\sqrt{3}$ ， 2， $\sqrt{5}$ B、1， $\sqrt{3}$ ， 2 C、3，6，7 D、6，9，12

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14、已知变量 $x$ 是实数，取值范围是 $1 \leq x \leq 5$ ， $y$ 是 $x$ 的函数，部分函数值如下表：
$x$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$y$
$0$
$y_{2}$
$y_{3}$
$y_{4}$
$y_{5}$
对于给定的条件 $T$ ，在以 $x$ 为自变量、满足条件 $T$ 的所有函数中，能使得函数图象（视为一条曲线）的长度最小的函数称为 $x$ 的“ $T$ -短函数”．

(1)、当条件 $T$ 为“ $y_{5} = 4$ ”时，直接写出 $x$ 的“ $T$ -短函数”的表达式；

(2)、当条件 $T$ 为“ $y_{4} = 2$ ，且存在 $x_{0}$ （ $1 \leq x_{0} \leq 5$ ）使得当 $x = x_{0}$ 时 $y$ 的值为 $- 1$ ”时， $y$ 是 $x$ 的“ $T$ -短函数”，求此函数图象的长度；

(3)、当条件 $T$ 为“ $y_{3} - y_{2} \leq 1$ 且 $y_{5} = 10$ ”时， $y$ 是 $x$ 的“ $T$ -短函数”时，直接写出 $y_{4}$ 的值．

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15、如图，已知三条平行线 $a ∥ b ∥ c$ ， $a$ ， $b$ 间的距离为 $D E$ ， $b$ ， $c$ 间的距离为 $E F$ ，点 $A$ 是直线 $a$ 上的一个定点，求作：直线 $b$ 上一点 $B$ 和直线 $c$ 上一点 $C$ ，使得 $△ A B C$ 是等腰直角三角形．

(1)、若要求 $∠ B A C = 90 °$ ，小明经过探究给出了以下作法：
在直线 $a$ 上，在点 $A$ 的左侧截取 $A M = D E$ ，在点 $A$ 的右侧截取 $A N = D F$ ；过 $N$ 作 $a$ 的垂线交 $b$ 于点 $B$ ，过 $M$ 作 $a$ 的垂线交 $c$ 于点 $C$ ，则点 $B$ ， $C$ 为所求．连接 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 得到 $△ A B C$ ．
判断按此法作出的 $△ A B C$ 是否为等腰直角三角形（答“是”或“否”）；
当 $D E = 1$ ， $E F = 2$ 时，直接写出 $B C$ 的长；

(2)、若要求 $∠ A B C = 90 °$ ，在答题纸上完成作图，并说明作法．（若满足条件的 $△ A B C$ 不唯一，作出一个即可）

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 1$ ， $∠ B A C = α$ （ $α < 90 °$ ）， $M$ 是 $A C$ 的中点，延长 $B M$ 至点 $D$ 使得 $M D = M B$ ，连接 $C D$ ． $P$ 是线段 $B M$ 上的动点，点 $Q$ 在线段 $C D$ 上，满足 $∠ A P Q = 2 α$ ．

(1)、如图1，当 $α = 60 °$ 且点 $P$ 与 $M$ 重合时，直接写出 $P Q$ 的长；

(2)、如图2，点 $P$ 不与 $B$ ， $M$ 重合，判断 $P Q$ 与 $P A$ 的数量关系，并证明；

(3)、若当点 $P$ 为 $B M$ 的中点时，点 $Q$ 恰为 $C D$ 的中点，求 $α$ 的值．

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17、王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线 $O - A - B - C$ 和线段 $O D$ 分别表示两人离学校的路程 $s (km)$ 与所经过的时间 $t$ （分钟）之间的函数关系．
根据图象回答问题：

(1)、学校与图书馆的距离是_____ $km$ ；王鹏在图书馆停留的时间为_____分钟；

(2)、相遇前，二人之间的距离的最大值是_____ $km$ ；

(3)、当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？

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18、如图， $△ A B C$ 的中线 $B D$ ， $C E$ 相交于点 $O$ ，且 $F$ ， $G$ 分别是 $O B$ ， $O C$ 的中点．

(1)、求证：四边形 $D E F G$ 是平行四边形；

(2)、若 $A B = B C = 13$ ， $A C = 10$ ，求 $E F$ 的长．

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19、已知：直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．

(1)、求点 $A$ ， $B$ 的坐标；

(2)、画出函数的图象；

(3)、过 $A$ 点作直线 $A P$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，且使 $O P = 2 O B$ ，直接写出 $△ A B P$ 的面积．

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20、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D = 2 B C$ ， $∠ A B D = 90 °$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ ．判断四边形 $B C D E$ 的形状，并证明．

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$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$0$	$y_{2}$	$y_{3}$	$y_{4}$	$y_{5}$