相关试卷

1、以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程： $\frac{x + 1}{2} - \frac{2 x - 1}{3} = 1$ ．
小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得 $3 (x + 1) - 2 (2 x - 1) = 1$
步骤②：去括号，得 $3 x + 3 - 4 x - 2 = 1$
步骤③：移项，得 $3 x - 4 x = 1 - 3 + 2$
步骤④：合并同类项，得 $- x = 0$
步骤⑤：系数化为1，得 $x = 0$

(1)、小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________；

(2)、请写出该一元一次方程正确的解答过程．

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2、化简求值： $(x + 2) (x - 2) - x (x - 1) + 2 x$ ，其中 $x = 2$ ．

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3、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $O$ 是对角线 $A C$ 上一点，连接 $O D$ ，将 $△ A O D$ 沿 $O D$ 翻折，得到 $△ E O D, O E$ 交 $B C$ 于 $F$ 点， $E D$ 交 $A C$ 于 $G$ 点，交 $B C$ 于 $H$ 点，且 $E D ⊥ A C$ ．
（1）若 $O G = O F = 1$ ，则 $D G =$ ．
（2）若 $\frac{O G}{O F} = k$ ，则四边形 $O F H G$ 与 $△ G H C$ 的面积比为（用含 $k$ 的代数式表示）．

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4、古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如 $x^{2} + p x = q (p > 0, q > 0)$ 的方程，采用如下构造步骤：如图，
①作线段 $A B = p$ ，取 $A B$ 的中点 $D$ ，则 $D B = \frac{p}{2}$ ；
②过 $B$ 点作 $B E ⊥ A B$ ，使得 $B E^{2} = q$ ；
③以 $D$ 为圆心、 $D E$ 的长为半径作圆，交直线 $A B$ 于 $C$ ， $F$ 两点．该方程的正根为图中线段．

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5、不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{x}{2} + 1 \geq 0 \\ 1 - x > 0 \end{array}$ 的解集是．

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6、 $- 5 - \sqrt[3]{8} =$

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7、如图（1），在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 45 °$ ，矩形 $D E F G$ 内嵌于 $△ A B C$ ．顶点F，G在 $B C$ 边上，点D在 $A B$ 边上，点E在 $A C$ 边上．当矩形 $D E F G$ 以每秒1个单位长度的速度沿射线 $G C$ 匀速运动（当G点与C点重合时停止运动）．设运动时间为x秒，矩形 $D E F G$ 与 $△ A B C$ 重叠部分的面积为S．如图（2）为S关于x的函数图象，且经过点 $P (10, 70)$ ， $Q (12, q)$ ．下列选项正确的是（）

A、 $F G = 10$ B、重叠部分面积的最大值为140 C、 $q = 50$ D、点 $(14, 58)$ 在函数图象上

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 36 °$ ，按以下步骤作图：
①以点 $B$ 为圆心， $B C$ 长为半径画 $⊙ B$ ，交 $A C$ 于 $D$ 点，连接 $B D$ ；
②以点 $D$ 为圆心， $B D$ 长为半径画弧，与 $⊙ B$ 交于点 $P 、 Q$ ，作直线 $P Q$ ，交 $A B$ 于 $E$ 点，交 $B D$ 于 $F$ 点．则下列说法正确的是（）

A、 $D E$ 平分 $∠ A D B$ B、 $A D = A E$ C、 $∠ B E D = 2 ∠ B A C$ D、 $S_{△ A E D} = 2 S_{△ B E D}$

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9、关于反比例函数 $y = \frac{2 m - 3}{x}$ ，下列说法错误的是（）

A、若函数图象分布在第二、四象限，则 $m < \frac{3}{2}$ B、若点 $(x_{1}, y_{1}) 、 (x_{2}, y_{2})$ 在函数图象上，且 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ C、若 $m > 2$ ，则当 $1 \leq x \leq 3$ 时， $y$ 的最大值为 $2 m - 3$ D、若函数图象上有两点 $A (a, b) 、 B (c, d)$ ，满足 $a < 0 < c$ 且 $b > d$ ，则 $m < \frac{3}{2}$

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10、杭州某中学为传承宋韵文化，开展（A．宋词诵读，B．书法篆刻，C．宋韵剪纸，D．陶艺制作）四个类型的文化体验活动，从全校学生中随机抽取部分学生进行“最喜爱的活动类型”抽样调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．下列说法正确的是（）

A、本次抽样调查的样本容量为500 B、C类活动所对应的扇形圆心角度数为 $126 °$ C、选择D类活动的学生人数为50人 D、若该校共有初中学生1200人，则该校选择B类活动的学生大约有320人

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11、已知点 $P (- 1, 5)$ ，将点 $P$ 向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点 $P^{'}$ ．若点 $P^{'}$ 的坐标为 $(m, 3)$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、3 D、5

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12、下列整式运算，计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(a^{4})}^{2} = a^{8}$ D、 ${(- 2 a)}^{3} = - 6 a^{3}$

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13、某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，在原正方体中，与“城”字所在面相对的面上的汉字是（）

A、美 B、好 C、教 D、育

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14、2026年是“十五五”开局之年，浙江省级重点项目年度计划投资达1100000000000元，精准投向交通强省、能源转型等核心领域．将数据“1100000000000”用科学记数法表示为（）

A、 $1.1 \times 10^{11}$ B、 $1.1 \times 10^{12}$ C、 $11 \times 10^{11}$ D、 $0.11 \times 10^{13}$

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15、阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式 $a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题．
例如：① $x^{2} + 4 x + 3 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} - 2^{2} + 3 = {(x + 2)}^{2} - 4 + 3 = {(x + 2)}^{2} - 1$ ，
∵ ${(x + 2)}^{2} \geq 0$ ，
∴ $x^{2} + 4 x + 3 = {(x + 2)}^{2} - 1 \geq - 1$ ．
∴当 $x = - 2$ 时，多项式 $x^{2} + 4 x + 3$ 的最小值为 $- 1$ ；
② $- x^{2} + 8 x + 1 = - (x^{2} - 8 x) + 1 = - (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} - 4^{2}) + 1 = - {(x - 4)}^{2} + 16 + 1 = - {(x - 4)}^{2} + 17$ ，
∵ $- {(x - 4)}^{2} \leq 0$ ，
∴ $- x^{2} + 8 x + 1 = - {(x - 4)}^{2} + 17 \leq 17$ ．
∴当 $x = 4$ 时，多项式 $- x^{2} + 8 x + 1$ 的最大值为 $17$ ．
根据上述材料解决下列问题：

(1)、【尝试应用】求多项式 $x^{2} - 2 x + 6$ 的最小值，并求出相应的x的值；

(2)、【拓展延伸】如果多项式 $x^{2} - 2 m x$ 的最小值是 $- 25$ ，那么m的值为________；

(3)、【迁移升华】：如图，某学校打算用18米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边 $A B = x$ 米，请求出x 为多少时，该花坛的面积最大，最大面积是多少平方米．

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16、图①是一个长为 $2 m$ 、宽为 $2 n$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

(1)、用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；

(2)、请运用你得到的关系式计算：若 $x + y = - 6$ ， $x y = 2.75$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值；

(3)、若 ${(2024 - m)}^{2} + {(m - 2025)}^{2} = 15$ ，求 $(2024 - m) (m - 2025)$ 的值．

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17、一个正方体盒子的棱长为 $0.3 m$ ．（答案均用科学记数法表示）

(1)、这个正方体的体积是多少？

(2)、若有一个小立方块的棱长为 $1 \times 10^{- 3} m$ ，则需要多少个这样的小立方块才能将正方体盒子装满？

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18、如图，某校园内有一块长为 $(3 a + 2 b) m$ ，宽为 $(2 a + b) m$ 的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为 $(a + 2 b) m$ ，宽为 $(a + b) m$ 的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动．

(1)、求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积；

(2)、若 $a = 5$ ， $b = 4$ ，铺设塑胶跑道的价格为 $100$ 元 $/ m^{2}$ ，则铺设塑胶跑道共需多少元？

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19、先化简，再求值： $[{(x + 2 y)}^{2} - (3 x + y) (- y + 3 x) - 5 y^{2}] \cdot (- \frac{1}{2} x)$ ，其中 ${(x + 1)}^{2} + |y - 2| = 0$ ．

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20、计算：

(1)、 ${(- 2 x^{2})}^{3} + x^{2} \cdot x^{4} - {(- 3 x^{3})}^{2}$

(2)、 ${(π - 3)}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + (\frac{2}{3}) \times (- 1.5)$

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