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1、已知正整数 $a, b, c, d$ 满足 $a < b < c < d$ ，且 $a + b + c + d = b^{2} - a^{2} + d^{2} - c^{2}$ ，则下列结论中：
① $a = 21, b = 22, c = 23, d = 24$ 是方程的一组解：
②若 $a < b < c < d < 10$ ，则方程组有 21 组解：
③若 $a + b + c + d = 2023$ ，则方程组有 504 组解，其中正确的有 ( )

A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个

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2、已知 $△ A B C$ 中， $B C = 3, A C = 2$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ A B$ ，且 $A D = 2 A B$ ，则 $C D$ 的最小值为 ( )

A、 $6 - 2 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、8

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3、已知 $|a| > |b|$ ，函数 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 与一次函数 $y = a x + b$ 的图象正确的是图中的 ( )

A、 B、 C、 D、

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4、如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60^{\circ}, M, N$ 分别是 $B C, C D$ 上的点， $∠ M A N = 60^{\circ}$ ，下列结论中错误的是 ( )

A、 $△ A M N$ 是等边三角形 B、 $M N$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2} A B$ C、当 $M N$ 最小时， $A M ⊥ B C$ D、当 $M N$ 最小时， $S_{△ C M N} = \frac{\sqrt{3}}{8} A B^{2}$

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5、在 $1,2, 3,4, 5, \dots, 12$ 中随机取两个不相同的整数，则取得的两个数中一个数是另一个数的两倍的概率为 ( )

A、 $\frac{25}{66}$ B、 $\frac{23}{66}$ C、 $\frac{1}{11}$ D、 $\frac{7}{22}$

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6、已知： $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，

(1)、如图， $A F$ 、 $B E$ 分别为 $B C$ 、 $A C$ 上的高线，交于点 $D$ ，若 $A D = 2$ ， $B C = 4$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(2)、如图，分别作 $∠ B A C$ 、 $∠ A B C$ 的角平分线，交于点 $D$ ，作 $D E ⊥ B C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连结 $A E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，若 $E F = 2, D E = 2 \sqrt{3}$ ，求 $A F$ 的长.

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7、已知二次函数 $y = x^{2} - a x + 1$ .

(1)、当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 $a$ 的值；

(2)、若 $1 \leq x \leq 2, y \geq - 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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8、将反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图像绕着原点 $O$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$ 得到新的双曲线图像 $C_{1}$ (如图所示)，若直线 $l ⊥ x$ 轴， $F$ 为 $x$ 轴上的一个定点，已知，图像 $C_{1}$ 上的任意一点 $P$ 到 $F$ 的距离与直线 $l$ 的距离之比为定值，记为 $e$ ，即 $\frac{P F}{P H} (e > 1)$ .

(1)、若直线 $l$ 经过点 $B (1,0)$ ， $F$ 点的坐标为(4，0)，且 $e = 2$ ，求双曲线 $C_{1}$ 的解析式；

(2)、如图，若直线 $l$ 经过点 $B (1,0)$ ，双曲线 $C_{2}$ 的解析式为 $y = \pm \sqrt{8 x^{2} - 8 x - 16}$ ，且 $F$
$(5,0), P$ 为双曲线 $C_{2}$ 在第一象限内图像上的动点，连接 $P F, D$ 为线段 $P F$ 上靠近点 $P$ 的三等分点，连接 $H D$ ，在点 $P$ 运动的过程中，当 $H D = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} P D$ 时，求点 $P$ 的横坐标.

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9、对于两个多项式，若 $P = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}, Q = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ ，满足下列两种情形之一： $① a_{1} \neq$ $0, a_{2} = 0$ ； ② $a_{1} = a_{2}, b_{1} > b_{2}$ ；则称多项式 $P$ 为“较大” 多项式，多项式 $Q$ 为“较小” 多项式.对于两个多项式 $A_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 和 $A_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ ，若将 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 中 “较大” 多项式和 “较小” 多项式的差记作 $A_{3}$ ，则称这样的操作为一次 “佳选作差” 操作；再对 $A_{2}$ 和 $A_{3}$ 进行 “佳选作差” 操作得到 $A_{4}, \dots$ ，以此类推，经过 $n$ 次操作后得到的序列 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots A_{n}$ 称为 “佳选作差” 序列 $\{A_{n}\}$ . 现对 $A_{1} = x^{2} + 1, A_{2} = x$ 进行 $n$ 次 “佳选作差” 操作得到 “佳选作差” 序列 $\{A_{n}\}$ ，

(1)、求 $A_{2024}$ ；

(2)、求 $A_{1} + A_{2} + A_{3} + \dots + A_{11}$ .

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10、如图，已知在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点 $G$ 为 $A B$ 的中点，连结 $C G$ ，点 $D$ 为平面内一点， $C D / / A B$ ，连结 $D G$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，且 $D G =$ $C G, D E = 1, A E = 6$ 则 $B E$ 的长为.

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11、已知互不相等的实数 $x, y, z$ 满足 $3 x + \frac{2}{y - 1} = 3 y +$ $\frac{2}{z - 1} = 3 z + \frac{2}{x - 1} = k$ ，则 $k =$ .

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12、如图，点 $C$ 是半圆 $O$ 上一点，将弧 $B C$ 沿弦 $B C$ 折叠交直径于点 $D$ ，再将弧 $B D$ 沿 $B D$ 翻折交 $B C$ 于点 $E$ ，连结 $D E$ ，若 $O D = 1, D E = 2 \sqrt{5}$ ，则线段 $B E$ 的长为.

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13、阅读理解：对于三个数 $a, b, c$ ，用 $m i n {a, b, c}$ 表示三个数中的最小值. 例如： $m i n {- 2,1, 3} = - 2$ ，则 $m i n \{\frac{1}{2} x + 1, - x + 2, \frac{1}{2} x^{2}\}$ 的最大值为.

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14、已知 $a_{k} \neq 0 (k = 1,2, \dots, 2024)$ ，满足 $\frac{a_{1}}{|a_{1}|} + \frac{a_{2}}{|a_{2}|} +$ $\frac{a_{3}}{|a_{3}|} + \dots + \frac{a_{2023}}{|a_{2023}|} + \frac{a_{2024}}{|a_{2024}|} = 2012$ ，则使反比例函数 $y = \frac{k a_{k}}{x} (k = 1,2, \dots, 2024)$ 的图像经过二、四象限的 $a_{k}$ 的概率是.

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15、某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出的多边形边数之和为 111 ，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是.

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16、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A B$ 上的一动点，连结 $C E$ ，将线段 $C E$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ ，得到 $C F$ ，连结 $E F$ ，交 $A C$ 于点 $Q$ ，若 $A B$ $= 3, B C = \sqrt{3}$ ，则 $A Q$ 长的最大值为 ( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、 $6 \sqrt{3} - 8$ D、 $8 \sqrt{3} - 12$

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17、小明和爸爸计划从家出发去游泳馆，上午 8 点整小明先出发，以 60 米/分的速度匀速步行，途中不休息，爸爸在上午 9 点 10 分从家出发，沿同一路线，以 300 米/分的速度匀速骑行到游泳馆，每骑 5 分钟后休息 1 分钟，最后，爸爸比小明晚 5 分钟到达游泳馆，那么家距离游泳馆有( )

A、4500 米 B、5100 米 C、5600 米 D、6000 米

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18、已知实数 $a 、 b 、 c$ ，满足 $a b c = 1, a + b + c = 2, a^{2} +$ $b^{2} + c^{2} = 16$ ，则代数式 $\frac{2}{1 + 2 c^{2}} + \frac{2}{1 + 2 b^{2}} + \frac{2}{1 + 2 a^{2}}$ 的值是 ( )

A、 $\frac{30}{13}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、3 D、 $\frac{8}{3}$

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19、正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $P$ 是 $A D$ 上异于点 $A 、 D$ 的点， $∠ A B P + ∠ B P E = 90^{\circ}$ ，则 $\frac{B P}{P E}$ 的值是( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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20、如图是七巧板图案，现将它剪拼成一个“风筝”造型，过它的上下左侧五点作矩形 $A B C D$ ，点 $G$ 为 $E F$ 的中点，并且在矩形内右上角有一正方形 $P Q M N, M N / / C D, P N / / A D$ ，若点 $P 、 G 、 H$ 在同一直线上，点 $N$ 到 $A D$ 的距离与到 $C D$ 的距离相等，且 $P N = 3.5 c m$ ，则 $A D$ 的长为 ( )

A、 $10 \sqrt{2} c m$ B、 $12 \sqrt{2} c m$ C、 $20 c m$ D、 $24 c m$

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