相关试卷

1、【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：
如图1，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $A B = 5.4$ ， $A D = 3$ ，若 $A C$ 边的长度为奇数，求 $A C$ 的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 至点E使 $A D = D E$ ，连接 $B E$ ．由已知和作图能得到 $△ E D B ≌ △ A D C$ ，所以 $A C = B E$ ．
【思考发现】（1）如图1， $△ E D B ≌ △ A D C$ 的理由是（）
A． $SSS$ B． $SAS$ C． $AAS$ D． $ASA$
(2)请根据小明的方法思考，直接写出 $A C$ 的长可能为___________(写一个值即可)；
【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求(求证、证明)的结论集中到同一个三角形之中．
(3)如图2， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B G$ 交 $A C$ 于E，交 $A D$ 于F， $A C = B F$ ．探究 $∠ A F G$ 与 $∠ G A F$ 的关系，并说明理由．
【深入探究】(4)如图3，在 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 中， $C A = C B$ ， $C D = C E$ ，且 $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，连接 $A D 、 B E$ ， F为 $A D$ 中点，连接 $F C$ 并延长交 $B E$ 于H， $C F = 4 ， C H = 2$ ，则 $S_{△ B C E} =$ _______．

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2、某玩具店销售甲、乙两种汽车模型，该玩具店两次采购汽车模型情况如下：
次数
购进数量
采购费用
甲种汽车模型
乙种汽车模型
第一次
4件
5件
620
第二次
2件
6件
520

(1)、求甲、乙两种汽车模型的采购单价；

(2)、该玩具店准备了1400元用于再采购这两种汽车模型共20件，求甲种汽车模型最多能采购多少件？

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3、如图，已知 $∠ B = ∠ E$ ，点C和点F在线段 $B E$ 上， $A C$ 与 $D F$ 交于点O， $A B = D E$ ， $B F = E C$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、若 $∠ A O F = 56 °$ ，则 $∠ A C E =$ _______．

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4、2026年春晚武术表演的宇树科技GI EDU U2进阶版机器人深受大家喜爱，某科技公司也购买了A、B两种型号的同款机器人，已知A型号机器人的单价比B型号机器人的单价多4万元，且5台A型号机器人的总价钱和6台B型号机器人的总价钱相等．请问A、B两种型号机器人的单价分别是多少万元？

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $B E$ 是 $A C$ 边上的高， $D E ∥ B C$ ， $∠ A D E = 46 °$ ， $∠ C = 62 °$ ．求 $∠ A B E$ 的度数．

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6、解方程或不等式组：

(1)、 $\frac{x + 2}{3} - \frac{2 x - 1}{4} = 1$ ；

(2)、 $\{\begin{array}{l} x - 1 ＞ 3 (x + 1) \\ \frac{1}{3} x - 1 \leq 4 - \frac{4}{3} x \end{array}$ ．

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7、先化简，再求值： $2 a b^{2} - 3 a^{2} b - 2 (a^{2} b - a b^{2})$ ，其中 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = \frac{1}{5}$ ．

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8、如图， $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $B F ⊥ A E$ 于E，交 $A C$ 延长线于F，则下列结论：
(1) $△ A C D ≌ △ B C F$ ；
(2) $A C + C D = A B$ ；
(3) $A E = B F$ ；
(4) $A D = 2 B E$ ；
(5) $S_{△ A D C} = S_{△ A D B}$ ．其中正确的结论有(横线上填写序号)．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $△ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B$ 于E， $D F ⊥ A C$ 于F， $△ A B C$ 的面积是30， $A B = 12$ ， $A C = 10$ ，则 $D E =$

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10、若方程 $(k^{2} - 1) x^{2} + (k + 1) x + 3 = 0$ 是一元一次方程，则 $k$ 的值是；

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11、如图，边长为 $(m + 4)$ 的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为（）

A、 $m + 4$ B、 $m + 8$ C、 $2 m + 4$ D、 $2 m + 8$

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 $M N$ ，与 $A C$ 交于点D，连接 $B D$ ，若 $∠ A = 42 °$ ，则 $∠ C B D$ 的度数为（）

A、 $21 °$ B、 $27 °$ C、 $30 °$ D、 $34.5 °$

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13、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{4} \cdot 3 a^{2} = 3 a^{8}$ C、 ${(a^{3})}^{3} = a^{6}$ D、 ${(- a^{2} b)}^{5} = - a^{10} b^{5}$

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14、如图，点A，B在数轴上，其对应的有理数分别是a和b．下列说法正确的是（）

A、 $a - b > 0$ B、 $| a | > | b |$ C、 $a + b > 0$ D、 $- a > b$

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15、下列各数中，是无理数的是（）

A、 $0$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $3.14$ D、 $\frac{1}{3}$

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16、某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应缴水费 $y$ （元）是用水量 $x$ （吨）的函数，其图象如图所示．

(1)、分别求出当 $0 \leq x \leq 15$ 和 $x > 15$ 时， $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、若某用户某月用水9吨，则应缴水费多少元？若某月缴水费102元，则这个月用水多少吨？

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ，延长 $B C$ 至 $E$ ，使 $B E = B D$ ，过点 $E$ 作 $E F ∥ B D$ 交 $A D$ 延长线于点 $F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E F D$ 是菱形；

(2)、连接 $B F$ ，若 $A B = 3 ， B C = 4$ ，求线段 $B F$ 的长．

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18、将分别标有数字1，2，4的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．

(1)、随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为奇数的概率是；

(2)、随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字（不放回），再抽取一张，卡片上所标数字作为个位上的数字，请用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率．

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19、先化简，再求值： ${(2 a - 1)}^{2} - 2 a (a - 2)$ ，其中 $a = - 2$ ．

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20、如图，已知 $A B ∥ C D$ ， $∠ B + ∠ D = 30 °$ ，则 $∠ O_{1} + ∠ O_{2} + ∠ O_{3} + ∠ O_{4} =$ ．

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次数	购进数量		采购费用
次数	甲种汽车模型	乙种汽车模型	采购费用
第一次	4件	5件	620
第二次	2件	6件	520