相关试卷

1、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于点E，若 $∠ C B E = 32 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为( )

A、112° B、116° C、128° D、148°

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2、已知 $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x} + 1$ ，则 $x - y$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $\pm 2$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3、下列各式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{16}$ C、 $\sqrt{20}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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4、
如图，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，将边 $A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，点 $B$ 的对应点为 $D$ ，连接 $B D$ ，射线 $B D$ 与 $A C$ 边交于点 $E$ ，点 $F$ 在直线 $B D$ 上，连接 $A F$ ， $C F$ ，且 $∠ C F B = ∠ B A C$ ．设 $C F$ 的长为 $x (x > 0)$ ．
【初步感知】
（1）如图1，当 $α = 90 °$ 时，直接写出线段 $B D$ 的长（用含 $x$ 的式子表示）；
【深入探究】
（2）如图2，嘉嘉说，当 $α \neq 90 °$ 时，（1）中的结果仍然成立，你认为嘉嘉的说法是否正确？请说明理由；
（3）当 $α \neq 90 °$ 时，求 $∠ A F D$ 的度数；
【拓展应用】
（4）若 $A B = B C = 6$ ，求 $△ B C F$ 面积的最大值．

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5、如图，抛物线 $L_{1} : y_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \frac{5}{2}$ 与 $x$ 轴交于 $M$ ， $N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $P$ ，抛物线 $L_{2} : y_{2} = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $M$ ， $P$ ．

(1)、求抛物线 $L_{2}$ 的函数解析式，并求出其顶点坐标；

(2)、若直线 $l : y = k x$ 与抛物线 $L_{1}$ 交于点 $A$ ， $B$ ，与抛物线 $L_{2}$ 交于点 $C$ ， $D$ ，其横坐标分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ，求证： $a + b + c + d = - 10$ ；

(3)、当 $t \leq x \leq 1$ 时， $y_{2}$ 的取值范围是 $m \leq y_{2} \leq n$ ，且 $m + n = 5$ ，求 $t$ 的值．

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6、如图，已知 $⊙ O$ 的半径为 $3 cm$ ，弦 $A B$ 的长为 $4 \sqrt{2} cm$ ，点 $M$ 为 $⊙ O$ 上的一点（不与点 $A$ ， $B$ 重合），点 $N$ 是平面内一点，以点 $A$ ， $M$ ， $B$ ， $N$ 为顶点作 $▱ A M B N$ ．

(1)、求点 $O$ 到 $A B$ 的距离；

(2)、若 $▱ A M B N$ 的一边与 $⊙ O$ 相切时．
①求 $B M$ 的长；
②当 $A N$ 与 $⊙ O$ 相切时，连接 $M N$ ，与 $A B$ 交于点 $P$ ，请直接写出 $\tan ∠ M P B$ 的值．

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7、控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了 $10 ℃$ 下营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度 $y$ （ $cm$ /天）是营养素用量 $x$ （ $mg$ ）的一次函数（ $0 < x < 2$ ），部分数据如下表所示：
营养素用量x（ $mg$ ）
0.2
0.4
0.6
0.8
幼苗的生长速度 $y$ （ $cm$ /天）
$1.2$
$1.6$
$2.0$
$2.4$

(1)、求出幼苗的生长速度 $y$ （ $cm$ /天）与营养素用量 $x$ （ $mg$ ）的一次函数解析式；

(2)、当营养素的用量为 $1.2 mg$ 时，求幼苗的生长速度；

(3)、已知不使用营养素时，幼苗在 $10$ ℃下的生长速度为 $0.9$ $cm$ /天，假设该幼苗完全成熟时高度为 $37 cm$ ，现要在 $10 ℃$ 下使用营养素将该幼苗从 $10 cm$ 培育至完全成熟，且比不使用营养素早 $12$ 天完成，则营养素的用量应该为多少 $mg$ ？

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8、为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班级分别开展不同的课后服务模式．其中，一班采用传统课后服务模式，主要以学科作业辅导为主；二班采用“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动．一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班学生的综合素质进行评分（满分10分）．
【数据收集与整理】
根据八年级一、二班学生综合素质评分绘制出不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）如图：
【数据分析与运用】
为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数进行了整理，结果如下表：

众数（分）
中位数（分）
平均数（分）
八年级一班
$m$
$n$
$8.025$
八年级二班
$8$
$8$
$p$
请你根据以上数据，解答下列问题：

(1)、求八年级一、二班学生的总人数，并补全条形统计图；

(2)、直接写出表中 $m$ ， $n$ ， $p$ 的值；

(3)、在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有 $7$ 分、 $8$ 分、 $9$ 分、 $10$ 分四种，且中位数为 $8.5$ ，众数为 $9$ ，则评分为 $10$ 分的同学最多有多少人？

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9、对于分式 $(\frac{x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$ ，小李和小王分别使用如下方法化简：
小李： $(\frac{x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$
$= \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$
$\dots$
小王： $(\frac{x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$
$= [\frac{x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}] \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x}$
$\dots$

(1)、请你选择其中一种方法，补全化简过程；

(2)、从 $- 2 \leq x \leq 2$ 中选一个整数 $x$ ，求出分式的值．

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10、计算：

(1)、在做某一些计算问题时，逆用乘法分配律会使运算简便．
例如： $13 \times (- \frac{2}{5}) - 8 \times (- \frac{2}{5}) = - \frac{2}{5} \times (13 - 8) = - \frac{2}{5} \times 5 = - 2$ ．
请你逆用乘法分配律计算： $\frac{3}{7} \times (- 19) + \frac{3}{7} \times 5$ ．

(2)、 ${(- 2026)}^{0} - |3 - \sqrt{5}| + {(\sqrt{5})}^{2}$ ．

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11、蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由 $6$ 个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为 $1$ ，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点 $A$ 的距离记为 $d$ ，则当 $d = 1$ 时，图中满足条件的格点数为 $3$ ，分别为点 $B$ ， $C$ ， $D$ ，当 $\sqrt{3} < d < \sqrt{7}$ 时，图中满足条件的格点共有个．

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12、元宵节是中国传统节日之一，象征着万家团圆．如图是2026年元宵节所在月的月历图，在该月历图中可以用十字框圈出5个数．若圈出的这5个数的和为70，则十字框正中间的数为．

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13、如图， $C E$ 是 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C D$ 的平分线，且 $C E$ 交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，若 $∠ B = 36 °$ ， $∠ E = 24 °$ ，则 $∠ A C D =$ $°$ ．

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14、对于点 $A (a, m)$ 和 $B (b, n)$ ，将点 $A$ 在平面直角坐标系中作如下变换：
第一步：将点 $A$ 沿 $y$ 轴方向平移 $|n|$ 个单位长度（当 $n \geq 0$ 时，将点 $A$ 向上平移 $n$ 个单位长度，当 $n < 0$ 时，将点 $A$ 向下平移 $|n|$ 个单位长度）得到点 $A^{'}$ ；
第二步：将点 $A^{'}$ 关于直线 $x = b$ 对称得到点 $M$ ．我们就称为“ $A$ 对 $B$ 的变换点为点 $M$ ”．
例：如图，点 $A (- 1, - 2)$ 对 $B (2, 4)$ 的“变换点”为 $M (5, 2)$ ．
对于点 $A (4, 3)$ ， $B (3, - 2)$ ， $C (p, q)$ ， $D (t, t)$ ，有下列结论：
结论一：点 $A (4, 3)$ 对 $B (3, - 2)$ 的“变换点”为点 $M (2, 1)$ ；
结论二：若点 $A (4, 3)$ 对 $C (p, q)$ 的“变换点”为点 $B (3, - 2)$ ，则 $p = 3.5$ ， $q = - 3$ ；
结论三：点 $E$ 的坐标为 $(1.5 t, 0)$ ，点 $F$ 为点 $E$ 对点 $D$ 的“变换点”，若 $S_{△ D E F} = 1$ ，则 $t = \pm 2$ ．
以上结论正确的是（）

A、只有结论一正确 B、只有结论二不正确 C、三个结论都正确 D、三个结论都不正确

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15、已知 $Rt △ A B C$ 的两条直角边 $a$ ， $b$ 分别是一元二次方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的两个根，且 $a^{2} + b^{2} = 25$ ， $a - b = 1$ ，则 $p$ 和 $q$ 的值分别为（）

A、 $- 1$ ， $5$ B、 $- 7$ ， $12$ C、 $3$ ， $4$ D、 $7$ ， $- 12$

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16、如图，已知矩形 $A B C D$ 的顶点 $A (1, 1)$ ， $B (4, 1)$ ， $C (4, 3)$ ，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $1 < k < 4$ B、 $2 < k < 4$ C、 $3 < k < 4$ D、 $3 < k < 8$

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17、如图，在 $3 \times 3$ 的正方形网格中，已有 $4$ 个小正方形被涂黑，嘉嘉和淇淇分别在剩余的编号为 $1 - 5$ 的小正方形中任选一个涂黑（两人所选编号不相同），则形成的图案是中心对称图形的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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18、如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高 $15 cm$ ，宽 $25 cm$ ，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 $A$ ，斜坡的起点为 $C$ ，现设计斜坡 $B C$ 的坡比 $i = 1 : 4$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、 $96 cm$ B、 $130 cm$ C、 $140 cm$ D、 $180 cm$

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19、小明在地上摆放了几摞圆凳．其主视图和左视图如图1和2所示，则圆凳的个数不可能是（）

A、 $13$ B、 $12$ C、 $11$ D、 $10$

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20、为纪念我国著名数学家苏步青院士所作的卓越贡献，国际上将一颗距离地球大约 $2.18$ 亿公里的小行星命名为“苏步青星”，将数据“ $2.18$ 亿”用科学记数法表示为 $a \times 10^{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 2.18$ ， $n = 8$ B、 $a = 218$ ， $n = 6$ C、 $a = 2.18$ ， $n = 10$ D、 $a = 21.8$ ， $n = 8$

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营养素用量x（ $mg$ ）	0.2	0.4	0.6	0.8
幼苗的生长速度 $y$ （ $cm$ /天）	$1.2$	$1.6$	$2.0$	$2.4$

	众数（分）	中位数（分）	平均数（分）
八年级一班	$m$	$n$	$8.025$
八年级二班	$8$	$8$	$p$