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1、化简求值 $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{2 x - 4}{x^{2} - 1} \div \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x = 3$ ．

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2、计算：

(1)、 $(- 2 x) \cdot (3 x^{2} - 2 x)$

(2)、 ${(2 a - b)}^{2}$

(3)、 $\frac{a + 9 b}{3 a b} - \frac{a + 3 b}{3 a b}$

(4)、 $\frac{3 b^{2}}{4 a} \div \frac{b c}{2 a^{2}} \cdot (- \frac{2 a}{b})$

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， B C = 4 ， S_{△ A B C} = 14 ， A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交边 $A C 、 A B$ 于点E、F．若D为 $B C$ 边的中点，M为线段 $E F$ 上的一个动点，则 $△ C D M$ 周长的最小值为．

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4、如图，一台吊车的局部结构如图所示，如果 $∠ 1 = 150 °$ ，那么 $∠ 2 =$ 度．

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5、如图， $A B = 14 cm$ ， $A C = 10 cm$ ， $∠ C A B = ∠ D B A$ ，点P在线段 $A B$ 上以2 $cm/s$ 的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线 $B D$ 上运动，它们运动的时间为 $t (s)$ （当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 $x cm/s$ ，当 $△ A C P$ 与 $△ B P Q$ 全等时，t的值是（）

A、2 B、 $\frac{7}{2}$ C、2或 $\frac{7}{2}$ D、2或 $\frac{5}{2}$

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6、若长方形玻璃的长为 $2 a + 1$ ，对应的宽为 $2 a - 1$ ，则此玻璃的面积为（）

A、 $4 a^{2} - 1$ B、 $4 a^{2} - 4 a + 1$ C、 $4 a^{2} + 4 a + 1$ D、 $2 a^{2} - \frac{1}{2}$

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7、石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长 $d = 0.0000000142 cm$ ， $0.0000000142$ 用科学记数法表示为（）．

A、 $1.42 \times 10^{- 7}$ B、 $1.42 \times 10^{- 8}$ C、 $1.42 \times 10^{9}$ D、 $1.42 \times 10^{- 10}$

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8、下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（）

A、 $x^{2} + 2 x + y^{2}$ B、 $4 x^{2} - 4 x - 1$ C、 $x^{2} + 4 x y + y^{2}$ D、 $x^{2} - 4 x + 4$

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9、如图，在 $△ A B C$ ，已知点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $A D = D C$ ，则点 $D$ 在（）

A、 $A C$ 的垂直平分线上 B、 $∠ B A C$ 的平分线上 C、 $B C$ 的中线上 D、 $A B$ 的垂直平分线上

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10、如图，在平面直角坐标系中， $O A = O B$ ，点D是 $A B$ 边的中点，且 $A B = 2$ ．点C是射线 $O B$ 上的动点，连接 $C D$ ，以 $C D$ 为边作等腰直角 $△ C D E$ ，且 $∠ D C E = 90 °$ ，连接 $B E$ ．

(1)、 $B D$ 的值为______， $∠ O A B$ 的度数为______；

(2)、如图1，若点C在 $O B$ 线段上，求证： $∠ C B E = 45 °$ ；

(3)、如图2，当点C在 $O B$ 的延长线上时，
①判断 $∠ C B E$ 的值是否发生改变，请说明理由；
②若 $E B$ 平分 $∠ D E C$ ， $B E$ 与 $C D$ 交于点P，求 $P E$ 的值．

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11、【阅读材料】若x满足 $(8 - x) (x - 3) = 4$ ，求 ${(8 - x)}^{2} + {(x - 3)}^{2}$ 的值．
解：设 $8 - x = a$ ， $x - 3 = b$ ．则 $(8 - x) (x - 3) = a b = 4$ ， $a + b = 8 - x + (x - 3) = 5$ ．
∴ ${(8 - x)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 5^{2} - 2 \times 4 = 17$ ．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若x满足 $(5 - x) (x - 3) = 1$ ，则 ${(5 - x)}^{2} + {(3 - x)}^{2}$ 的值为．
（2）若 ${(n - 2022)}^{2} + {(2025 - n)}^{2} = 4$ ，求 $(n - 2022) (2025 - n)$ 的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形 $A B C D$ 的边长为x，E、F分别是 $A D$ 、 $D C$ 上的点，且 $A E = 1$ ， $C F = 3$ ，长方形 $E M F D$ 的面积是24，分别以 $M F$ ， $D F$ 为边长作正方形 $M F R N$ 和正方形 $G F D H$ ．求阴影部分的面积．

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12、（1）尺规作图：作 $△ A B C$ 的角平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）中作 $△ A B C$ 的角平分线 $B D$ 后，过点D作 $D E ∥ A B$ ，交 $B C$ 于点E．求证： $B E = D E$ ．

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13、如图， $△ A B C$ 的面积为5，分别以 $A B 、 A C$ 为直角边向外作等腰直角 $△ A B D$ 和等腰直角 $△ A C E$ ，连接 $C E, B D, D E$ ．则 $△ A D E$ 的面积等于．

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14、若3^x＝10，3^y＝5，则3^x^﹣^y＝．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点B坐标为 $(- 1, 0)$ ，点C坐标为 $(1, 4)$ ，则点A的坐标为．

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16、已知 $a = x + 2026$ ， $b = x + 2024$ ， $c = x + 2025$ ，当 $a^{2} + b^{2} = 8$ ，则 $c^{2}$ 的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、8

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17、如图所示，已知 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ， $∠ 1 = 25 °$ ， $∠ 2 = 30 °$ ，且点 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一直线上，则 $∠ 3$ 的度数为（）

A、 $125 °$ B、 $55 °$ C、 $50 °$ D、无法计算

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18、下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）

A、 $6 x^{2} y^{3} = 2 x^{2} \cdot 3 y^{3}$ B、 $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ C、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2 + \frac{1}{x})$ D、 $(x + 2) (x - 3) = x^{2} - x - 6$

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19、若分式 $\frac{2 - |x|}{x - 2}$ 的值是零，则x的值是（）

A、0 B、 $\pm 2$ C、2 D、 $- 2$

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20、下列计算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{5} = x^{7}$ B、 ${(x^{3})}^{2} = x^{5}$ C、 $x^{4} \cdot x^{3} = x^{7}$ D、 $x^{3} \div x = x^{3}$

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