相关试卷

1、学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数 $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 1$ 的图象与性质进行探究，并解决相关问题．

(1)、函数 $y = \sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 1$ 中自变量 $x$ 的取值范围是；

(2)、如表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值．
$x$
．．．
0
1
2
3
4
5
6
．．．
$y$
．．．
4
$m$
2
1
2
3
4
．．．
直接写出表格中 $m$ 的值是；

(3)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；

(4)、结合函数图象，解决问题：
①方程 $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} + 1 = 2$ 有个解；
②当 $1 < x < 4$ 时， $y$ 的取值范围是；

(5)、进一步研究：若点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = \sqrt{{(x - t)}^{2}} + 1$ 图象上的任意两点，若对于 $0 < x_{1} < 1 ， 2 < x_{2} < 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $t$ 的取值范围是．

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2、我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．
$\sqrt{2}$
3
a
b
$\sqrt{6}$
1
$\sqrt{3}$
2
$3 \sqrt{2}$
图①

(1)、任务一：在图①方格中，若要使每一横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、任务二：在如图②的“幻圆”中，若内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，求 $a - b$ 的值．

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3、像 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3$ 、 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0)$ 、 $(\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ …两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ 、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

(1)、直接写出化简结果：① $\frac{1}{\sqrt{2}} =$ ， ② $\frac{1}{\sqrt{3} - 1} =$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ ；

(3)、已知有理数 $a$ 、 $b$ 满足 $\frac{a}{\sqrt{3} + 2} + \frac{2 b}{\sqrt{3} - 1} = 2 \sqrt{3} - 1$ ，求 $a$ 、 $b$ 的值．

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4、先化简，再求值： $(\frac{a^{2} + 1}{a} - 2) \div \frac{a - 1}{a}$ ，其中 $a = \sqrt{2} - 1$ ．

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5、计算：

(1)、 ${(\sqrt{2025} - 1)}^{0} - | \sqrt{3} - 2 | + {(\frac{1}{5})}^{- 1} + \sqrt[3]{- 8}$ ．

(2)、 $\sqrt{12} - | 1 - 2 \sqrt{3} | + {(\frac{1}{2})}^{- 3} + {(π + \sqrt{2})}^{0}$ ．

(3)、 $- 2^{3} + 2^{3} \times \sqrt{\frac{1}{64}} - \sqrt[3]{- 216}$ ．

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6、我国古代数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且对勾股定理进行理论证明．三国时期，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法对勾股定理进行详细证明，这幅．“勾股圆方图”就是著名的“赵爽弦图”．如图，小明利用正方形 $A B C D$ 纸张画出内接的“赵爽弦图”，由八个全等的直角三角形拼接而成，正方形 $E F G H$ 的各顶点均在正方形 $A B C D$ 的边上．记正方形 $A B C D$ 、正方形 $E F G H$ 、正方形 $M N O P$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ．若正方形 $E F G H$ 的边长为 $\sqrt{7}$ ，则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} =$ ．

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7、如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ C = 90 °$ ， $∠ A D C = 135 °$ ， $A B = 10$ ， $A D = 6$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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8、如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，则 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上的高与 $A B$ 边上的高的差为．

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9、如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 120 °, ∠ B = ∠ D = 90 °, A B = 1, A D = 2$ ，在 $B C 、$ $C D$ 上分别找一点M、N ，使 $△ A M N$ 周长最小，则最小值为．

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10、先阅读下面的解答过程，然后再解答：
要对形如 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}}$ 的式子化简，只要找到两个数 $a$ 、 $b (a \geq b \geq 0)$ ，使 $a + b = m$ ， $a b = n$ ，即 $(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} = m$ ， $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{n}$ ，那么便有 $\sqrt{m \pm 2 \sqrt{n}} = \sqrt{(\sqrt{a})^{2} + (\sqrt{b})^{2} \pm 2 \times \sqrt{a} \times \sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ ．
⑴用上述方法化简： $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ = ．
⑵若 $\sqrt{14 - 4 \sqrt{10}}$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，则 $a + b$ = ．

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11、如图，将含有 $60 °$ 的三角尺 $A B C$ 绕点 $C$ 按逆时针方向旋转到 $△ D E C$ 的位置，若 $A C = 5 c m$ ，当点 $D$ 恰好落到 $△ A B C$ 的一边上时，连接 $B E$ ，则线段 $B E =$ $c m$ ．

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12、已知 $a = 2 + \sqrt{3}$ ， $b = 2 - \sqrt{3}$ ，则代数式 $a^{2} b - a b^{2}$ 的值等于．

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13、 $3 + \sqrt{5}$ 的倒数是．

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14、如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 3$ ， $A B = 9$ ，点E ， F分别在边 $A B, C D$ 上．将矩形纸片沿直线 $E F$ 折叠，使点B落在边 $C D$ 上，记为点M ，点C落在点N处，连接 $M B$ 交 $E F$ 于点P ，连接 $B F$ ．下列结论：①四边形 $M F B E$ 是菱形；②点M与点D重合时， $E F = \sqrt{10}$ ；③ $△ M P F$ 面积的最小值是 $\frac{9}{4}$ ；④ $B P = B C$ 中，所有正确结论的序号是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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15、如图， $∠ A = 120 °$ ， $A B = A C = 4$ ，点 $D$ 在线段 $A B$ 上， $D E$ $∥ B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $30 °$ 得到 $△ G D H$ ．当点 $H$ 在 $B C$ 上时， $A D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3} - 2$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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16、若 $1 < x < 4$ ，则化简 $\sqrt{{(x - 4)}^{2}} - \sqrt{{(x - 1)}^{2}} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $5 - 2 x$ C、3 D、5

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17、下列语句：①2是4的平方根．② $- \sqrt[3]{8}$ ， $- π$ ， $\sqrt{25}$ 都是无理数．③实数和数轴上的点一一对应．④ $\sqrt[3]{8}$ 的立方根是2．⑤ $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ． ⑥ $\sqrt{a^{2}} = 4$ ，则 $a = \pm 4$ ．正确的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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18、若 $a \neq 0$ ，且 $a$ ， $b$ 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一组是（）

A、 $\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{b}$ B、 $\sqrt[3]{a^{3}}$ 与 $- \sqrt[3]{b^{3}}$ C、 $\sqrt[3]{a}$ 与 $\sqrt[3]{b}$ D、 $\sqrt{a^{2}}$ 与 $\sqrt{b^{2}}$

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19、观察下列分式及其变形过程，
① $\frac{x + 2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$
② $\frac{2 x + 3}{x + 1} = \frac{2 x + 2 + 1}{x + 1} = 2 + \frac{1}{x + 1}$
③ $\frac{x^{2} + x + 2}{x + 1} = \frac{x (x + 1) + 2}{x + 1} = x + \frac{2}{x + 1}$
④ $\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 1} = \frac{x^{2} + 1 + x + 1}{x^{2} + 1} = 1 + \frac{x + 1}{x^{2} + 1}$
……
我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题：

(1)、下列式子中，属于“奇妙分式”的是；（只填写字母代号）
A． $\frac{x^{2} + 2}{x^{2}}$ B． $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1}$ C． $\frac{x + 2}{x^{2} + 1}$ D． $\frac{x^{2} + 3}{2 π}$ E． $\frac{x^{2} - x}{x - 1}$

(2)、若奇妙分式 $\frac{2 a^{2} + 1}{a^{2} - 1}$ 的值为整数，求正整数a的值；

(3)、已知分式 $\frac{2 x^{2} + 3 x - 1}{x + 2}$ 是奇妙分式，
①把其化成一个整式与一个真分式和的形式；
②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子 $\frac{a^{2}}{a - 1} - \frac{b^{2} - m}{b - 3}$ 可化简为一个整式，求常数m的值．

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20、如下图，一幅书画在装裱前的大小是 $1.2 m \times 0.8 m$ ，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 $a m, b m, c m, d m$ ．若装裱后 $A B$ 与 $A D$ 的比是 $16 : 10$ ，且 $a = b$ ， $c = d, c = 2 a$ ，求上边衬的宽度．

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$x$	．．．	0	1	2	3	4	5	6	．．．
$y$	．．．	4	$m$	2	1	2	3	4	．．．

$\sqrt{2}$	3	a
b	$\sqrt{6}$	1
$\sqrt{3}$	2	$3 \sqrt{2}$